Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
X1 =A1 cos (<s>t + ф1) и X2 = A2 cos (cof + ф2),
то результирующее колебание совершается с той же частотой по гармоническому закону
х=А cos (cof + ф).
Для отыскания А и ф пользуются методом векторных диаграмм, основанным на том, что в каждый момент времени вращающиеся векторы амплитуд складываемых колебаний (A1 и A2) и результирующий вектор А связаны соотношени-
Рис. 1.6.1
1.6.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
127
ем А = A1 + A2- Все три вектора вращаются с одинаковой угловой скоростью со, так что их взаимное расположение не зависит от времени. Из рис. 1.6.2, соответствующего моменту времени t = О, видно, что
A2 = A1 + а\ + ZA1A2 cos (ф2 - (P1) и
_ A1Sintp1 +A2Sintp2
Рис. 1.6.2
A, Costp1 + A2Costp2
Если ф2 ~ Фі = 2п7г (п = 0; ±1; ±2;...), то A =A1 +A2; если Ф2 - Фі = (2га + 1)л (га = О; +1; ±2; ...), то А = \ A1 - A2 |. В общем случае | A1 - A21 < А < A1 +A2.
6°. При наложении (суперпозиции) двух гармонических колебаний X1 =A1 cos(Co1 ? + ф1)иX2 =A2 cos (ro2t + ф2), имеющих разные частоты и амплитуды, результирующие колебания не являются гармоническими. Их можно представить в следующей форме:
х = X1 + X2 = A(J) cos [cojf + ф(f)]>
где
A2(t) -A1 + A2 + 2A1A2 cos [i|/(t) - ф1],
tg фЩ = A1 Siiiy1+A2Sinv(Q A1Cosy1 +A2cosy(t)
y(0 = (to2 - W1 )t + ф2.
С физической Точки зрения такое представление результирующих негармонических колебаний имеет смысл только при наложении гармонических колебаний, частоты которых достаточно близки. В этом случае A{t) И ф(?) — медленно меняющиеся функции времени, а колебательный процесс называют биениями. Величина A(t) периодически изменяется в пределах от
IAi -A2I до A1 +A2 с частотой v6 = |v2 - V1I = |со2 - coj,
называемой частотой биений.
128
1.6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
7°. Сложные (негармонические) периодические колебания физической величины S можно представить и виде ряда Фурье, состоящего из простых гармонических колебаний с циклическими частотами, кратными
On
основной циклической частоте CO = — , где T — период колебаний S:
S(t) =y+ E sin (ratof +
« = 1
где
An = Ja2n + Ь2п , ф„ = arctg S .
Л
Коэффициенты ап и Ьп определяются по формулам Эйлера—Фурье:
Т/2
ап = Tj, J Slt) cos mot At (л = 0,1,2,...),
-Т/2
Т/2
Ъп = ^ J S(t) sin nxot dt (п= 1,2,...).
-Т/2
Отыскание ряда Фурье, соответствующего заданным сложным колебаниям, называют гармоническим анализом последних. Члены этого ряда, циклические частоты которых равны со, 2со, Зсо и т. д., называют соответственно первой (основной), второй, третьей и т. д. гармониками сложного колебания.
8°. Спектром частот колебания называют совокупность частот простых гармонических колебаний, в результате сложения которых можно получить рассматриваемое колебание. Периодические колебания имеют дискретные (линейчатые) спектры частот. Непериодические колебания, как правило, имеют непрерывные (сплошные) спектры частот. Их можно представить как результат наложения гармонических колебаний, частоты которых принимают все возмож-
1.6.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
129
ные значения в некотором интервале (в общем случае от О до °°). Гармонический анализ таких колебаний состоит в представлении их в виде интеграла Фурье
Квазипериодическими (почти периодическими) колебаниями называют непериодические колебания, спектр частот которых —дискретный, но входящие в него частоты несоизмеримы друг с другом (их отношения выражаются иррациональными числами).
9°. Колебания вида х = A(t) cos [cot + <р(0] называют
модулированными, если 1 <SC соАмакс и |^ | <S со. Колебания называют амплиту дно-моду лированными, если ф = const, и модулированными по фазе или частоте, если А = const. Простейшим примером модулированных колебаний являются биения, для которых A(t) и ф(і) — периодические функции времени.
10°. Свободными колебаниями называют колебания, которые возникают в системе, не подверженной действию переменных внешних сил, в результате какого-либо начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия.
Вынужденными колебаниями называют колебания системы, вызываемые действием на нее периодических внешних сил.
11°. Систему называют линейной, если ее движение описывается линейными дифференциальными уравнениями. В противном случае систему называют нелинейной, а ее колебания — нелинейными колебаниями.
Колебательную систему, обладающую одной степенью свободы, называют одномерным осциллятором (вибратором). Если свободные колебания этой системы являются гармоническими, то она называется одномерным гармоническим осциллятором. В противном случае осциллятор называется ангармоническим.
S(t) = j [а(со) cos соt + Ь(со) sin cot] cko, о
где
5 Зак. 2940
130
1.6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
2. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ, ИМЕЮЩЕЙ ОДНУ СТЕПЕНЬ СВОБОДЫ
А. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ
1°. Кинетическая и потенциальная энергии консервативной системы соответственно равны:
где q — обобщенная координата, b(q) > 0.
В состоянии устойчивого равновесия (q = q0) потенциальная энергия имеет минимум, так что
