Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
j2Tdt= J2 Y = J2 E aydffidffj-
В частности, для свободной материальной точки массой т и полной энергией Е, движущейся в стационарном потенциальном силовом поле,
A J л/2т{Е - U) ds = О,
где U (х, у, z) — потенциальная энергия точки, ds — элемент длины пути. Это соотношение совпадает с математическим выражением принципа Ферма для распространения луча света в изотропной оптически неоднородной среде с показателем преломления п (х, у, г) =
= C1JE - U(x, у, z), гдр C1 — постоянный (неварьируе-мый) коэффициент пропорциональности. Таким образом, существует оптико-механическая аналогия-. каждой задаче о движении материальной точки в стационарном потенциальном поле соответствует определенная задача геометрической оптики, и наоборот.
5. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Iе. В канонических уравнениях Гамильтона обобщенные координаты qlt ..., qs и обобщенные импульсы P1, ..., ps голономной системы играют роль независи-
I 5.5. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
115
мых переменных. Преобразования этих 2s переменных к новым независимым переменным:
q'i = Qi (ff. Р> О и Pi = р\ (q, p. t)
называют каноническими, если уравнения движения системы в новых переменных также имеют вид канонических уравнений Гамильтона1^:
Qi = |и Л =-|(г = 1, ...,S),
Dpi Sgi
где H' = H'(q', р', 1) — новая функция Гамильтона.
2°. Старые и новые переменные и соответствующие им функции Гамильтона должны удовлетворять принципу Гамильтона—Остроградского:
5 J( Yp'^~H)dt=o и sj(xp'& н'Idf=°-і. > = і t, 1 = 1
Поэтому подынтегральные выражения могут отличаться друг от друга только на полный дифференциал некоторой функции F, называемой производящей функцией канонического преобразования:
S
[ X Pt dff>_ H(-q’ Р’ ^df] -
і - I
s
[ X Pi " HP'' dt] = dF-
I = I
Производящую функцию можно записать в одном из четырех видов:
Ft(q, q\ t); F2(q, p', t); Fs{p, q', t) и F4(p, p, t).
Рассматриваются системы, на которые действуют только потенциальные силы.
116 1.5. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Если F = F1, то JpiQi-H= Jp. q. -H'+ где І=1 І=1
^l= Y3Ilq. +д1±ї+д1і.
At 2~i dqt дРі 1 dt
і = 1
Так как новые и старые координаты независимы, то » =dFl a =-9Fl и Н' = И±дЛ
Pi з » Qi _ » Ч лІ ±1 T -X *
Bqi dqt dt
Аналогично, если F — F27 то
dF9 , dF9 SFo
Pl=T1' и Н=Н+^Г-
Sgl Bpi Э t
Йели F = Fs, то
д, = -_®, Pi=-—? и Я' = Н+=-?.
Э P1 Э Cil Sf
Если F = F4, то
Ъ—р. ?1-? и Н' = Я+^.
эр, 1 эР; at
Если производящая функция канонического преобразования не зависит явно от времени ^= 0^, то новая функция Гамильтона системы равна старой (Н — = H').
Пр имеры.
1. Любое преобразование обобщенных координат (q*. = = t)) — так называемое точечное преобразование —
является каноническим, так как получается с помощью производящей функции
S
F2 {q, р', f) = J ^q1, ...,qs, t)p't .
І= I
1.5.5. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
117
Следовательно, канонические уравнения Гамильтона инвариантны по отношению к выбору обобщенных координат.
2. С помощью производящей функции F1 (q, q', t) =
s
= ^qiQi осуществляется каноническое преобразова-
i = і
ние: g. = Pi и р[ = - Qi, сводящееся (с точностью до знака) к взаимному переименованию обобщенных координат и импульсов. Поэтому величины Qi И P1 часто называют канонически сопряженными.
3. Изменение величин qt и Pi при движении системы можно рассматривать как непрерывно совершающееся каноническое преобразование, производящей функцией которого в каждый момент времени является функ-
S
Ция F2 (q, р', t) = Y1 QiPi + H(Q> Р'. О df:
І = I
Pi = —5 = Pi + — dt и qt = —4 = %- + j-7 dt;
Bqi Bqi dpt dpL
так как р\ и q[ отличаются от Pi и Qi на бесконечно малые величины, то с точностью до величин первого порядка малости можно принять H(q, р\ t) = H(q, р, t) и
Щ так что
Эр* Bpi
Pt =1Pi - Щ ^t=Pl + Pi dt=Pi + dPi
Q1 =Qi+Ifdt = 1i+ Qi dt = ffi + Aqi.
3°. При канонических преобразованиях сохраняется объем фазового пространства: Jd Г = Jd П, где dr =
= dg-j ... AqsAp1 ... dps, dr' = dg' ... dqs dg^ ... dqs , а интегрирование производится по произвольной области
118 1.5. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
фазового пространства переменных (q, р) и по соответствующей ей области фазового пространства переменных (q', р').
Отсюда следует теорема Лиувилля: если в момент времени t0 фазовые точки, соответствующие различным начальным состояниям системы, движение которой описывается каноническими уравнениями Гамильтона, непрерывно заполняют элемент dr 0 объема фазового пространства, то в любой момент времени t они непрерывно заполняют элемент dr объема фазового пространства, причем dr = dr0.
4°. В каждом конкретном случае для системы, гамильтониан H которой не изменяется в процессе движения, можно осуществить такое каноническое преобразование обобщенных координат и импульсов, чтобы все обобщенные координаты q's были циклическими.
При этом все обобщенные импульсы постоянны: Pi = а; и
Hqi = соjt + Ctj, где Cti — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
