Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
то уравнения Лагранжа для системы также имеют вид
й(ЭЬ)_ дЬ =0 AtKdqiJ dqi
где L = T-U .
Например, для частицы с зарядом q и массой т, движущейся в электромагнитном поле,
U = дгФ - gr(Av) и L = ^ - ^tp + g(Av),
где ф и А — скалярный и векторный потенциалы поля.
3°. Уравнения Лагранжа для произвольной голономной системы, на которую действуют как потенциальные, так и непотенциальные силы, имеют вид
d ( dL \ __ 0L _ П'
cU Kdqi J dqt 1 ’
где Qi — обобщенная непотенциальная сила. В частности, для системы материальных точек, подверженной действию сил трения, которые пропорциональны скоростям движения точек,
S
где Ф = I ^ — диссипативная функция Рэлея,
і.] = і
которая представляет собой однородную квадратичную форму обобщенных скоростей. Размерные коэффициенты уц в общем случае зависят от обобщенных координат, а их матрица симметрична: у у = Yyi- Диссипативная функция всегда положительна и численно равна половине механической энергии, рассеиваемой системой за единицу времени.
1.5 3. ФУНКЦИЯ ГАМИЛЬТОНА
103
4°. Обобщенную координату называют циклической координатой, если функция Лагранжа L не зависит явно от Qj, т. е. ^ = О (при этом L может зависеть от I- Sqi
обобщенной скорости Cjj ). Из уравнений Лагранжа 2-го рода для консервативных систем следует, что обобщенный импульс Pj, сопряженный с обобщенной координатой Qj не изменяется при движении системы.
5°. Решения уравнений Лагранжа второго рода для механической системы с s степенями свободы содержат 2s произвольных постоянных и могут быть представлены в следующем виде:
5i = 5!i(f> cL с2> ->с2«)>
Qi = Qi (*> C1, C2, ..., c2s) (і = 1, 2.s).
Из этих 2s уравнений можно исключить время t и убедиться в том, что во всякой механической системе должны существовать функции обобщенных координат Qi и
обобщенных скоростей Cji, которые остаются постоянными при движении. Эти функции называют интегралами движения. Отыскание интегралов движения составляет основную задачу механики. Среди интегралов движения есть несколько важнейших, постоянство которых имеет глубокое происхождение, связанное CO свойствами основных форм существования материи — времени и пространства. Интегралы движения аддитивны: их значения для системы, состоящей из нескольких невзаимодействующих частей, равны сумме значений для каждой части в отдельности.
3. ФУНКЦИЯ ГАМИЛЬТОНА.
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
Iе. Функцией Гамильтона голономной системы с s степенями свободы называют функцию обобщенных координат и импульсов системы, а также времени, имеющую вид
S
H(q,p. 0= YpAi - L>
і = I
це все g- и функция Лагранжа L выражены через обобщенные координаты и импульсы.
104 1.5. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Для консервативной системы функции Лагранжа и
d J-F
Гамильтона не зависят явно от времени и -------- = 0, т. е.
dt
H = const. Кроме того, в этом случае І = 1 І = I
по теореме Эйлера для однородных функций второй степени. Поэтому
Н= L = T+ и.
^dqi
і = 1
Функция Гамильтона консервативной системы есть ее полная механическая энергия.
Примеры.
1. Для частицы с массой т. н потенциальном поле Щх, у, г)
H =
±{РІ +РІ +Pl) + U(x, у, г).
2. В случае линейного гармонического осциллятора
T=Imx* _?i, и=
2 2m 2
H= ?— + —
2 т 2 ’
„ d 2TJ
где а — положительным коэффициент, равный ------.
dx2
3. Планета с массой т движется по эллиптической орбите в поле тяготения Солнца. В полярных координатах
Pp= тр, рф=тр2ф,
Потенциальная энергия планеты:
Щр) = ,
P
где G — гравитационная постоянная, M — масса Солнца, р — расстояние от планеты до Солнца.
1.5.3. ФУНКЦИЯ ГАМИЛЬТОНА
105
Функция Гамильтона
гг_ I ( 2 I 2 ^
H-2^lPe+^P*)~G-
2°. Каноническими уравнениями движения Гамильтона для голономной системы с s степенями свободы, на которую действуют только потенциальные силы, называют совокупность 2s дифференциальных уравнений первого порядка:
¦ __ дН « _ _дН __ t о
4i W i Wi
Зная начальное состояние системы, т. е. совокупность значений qt и Pi для t = 0, и проинтегрировав эти уравнения, можно определить состояние системы в произвольный момент времени t, т. е. совокупность значений qflf) и P1(I). Канонические уравнения Гамильтона выражают классический принцип причинности.
Если Qj — циклическая координата консервативной системы, то гамильтониан системы не зависит явно от ? -:
дн - „ - п
3е. Написанные выше канонические уравнения Гамильтона справедливы также для голономной системы, обладающей «обобщенным потенциалом».
Для произвольной голономной системы канонические уравнения Гамильтона имеют вид
где Qi — обобщенная непотенциальная сила.
4°. Для наглядного изображения изменения состояния системы вводится многомерное пространство всех обобщенных координат Qi и обобщенных импульсов Pi (і = 1, 2,..., s) рассматриваемой системы. Такое 2в-мер-ное пространство называют фазовым (гамма-простран-ством); s-мерное подпространство обобщенных координат qt называют конфигурационным пространством. Состояние системы изображается точкой в соответствующем этой системе фазовом пространстве (изобрази-
