Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
Mg. = J3(C) х П) (I + cos 0).
' Эта формула совпадает с приближенной в следующих случаях:
а) ю 2> Г2 (исходное положение приближенной теории);
б) 0 = 90";
в) J3 = J1 = J2 (сферический гироскоп).
Пример. Регулярная прецессия тяжелого гироскопа, обусловленная его силой тяжести: = Px гс, где
гс — радиус-вектор центра масс, P — сила тяжести. Прецессия происходит вокруг вертикальной оси, образующей угол 0 с осью гироскопа. Угловая скорость прецессии определяется из уравнения
J3CoQ (I + ——— cos о] = Prc.
' Js '
Регулярная прецессия возможна при условии j| со2 + 4(JJ-J1) Prc cos 0 > О,
Имеются две угловые скорости прецессии:
- J3CO+ JjI + 4( J3- Jt)Prccosb 2(J3 -J1Jcose
1.4.6. ГИРОСКОП
95
Если собственная угловая скорость гироскопа достаточно велика, то
Pr
Cl, = —- — медленная прецессия,
J3 CO
_ J4CO
H2- —-----------— — быстрая прецессия.
4°. Для осуществления регулярной прецессии тяжелого гироскопа (или уравновешенного гироскопа, подверженного действию постоянной силы) необходимо соблюдение строго определенных начальных условий его движения. В противном случае возникает псевдорегу-лярная прецессия, при которой угол нутации 0 периодически изменяется. Чем больше собственная угловая скорость со гироскопа, тем меньше размах колебаний величины угла 0 и соответствующего им движения гироскопа, называемого нутацией.
Если ось динамической симметрии тяжелого гироскопа, имеющего три степени свободы, расположена вертикально, а его центр масс находится выше точки опоры, то вращение гироскопа вокруг этой оси будет устойчивым, если собственная угловая скорость гироско-
2(PJ г )1/2
па удовлетворяет условию со > -------—-----. Такой ги-
J3
роскоп называют лепящим волчком».
5°. Уменьшение числа степеней свободы гироскопа с трех до двух приводит к качественному изменению поведения гироскопа при внешних воздействиях. Так, например, «спящий волчок» полностью теряет свою устойчивость независимо от величины его собственной угловой скорости.
Внешняя сила F, приложенная к оси Oz' динамической симметрии гироскопа с двумя степенями свободы и направленная в плоскости, перпендикулярной к второй оси Ox его вращения, вызывает свободное вращение гироскопа вокруг оси Ojc в направлении действия силы. Это связано с тем, что под влиянием силы F и собственного вращения гироскопа в неподвижно закрепленных подшипниках оси Ox возникает пара сил, которая приложена к гироскопу и создает момент М, совпадающий по направлению с силой F и вызывающий поворот в том же направлении оси Oz'.
96
1.5. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Благодаря суточному вращению Земли ось динамической симметрии гироскопа с двумя степенями свободы, беспрепятственно вращающегося вокруг вертикальной оси, устанавливается в плоскости географического меридиана так, что угол между угловыми скоростями Земли и гироскопа острый. Это свойство гироскопа впервые было использовано Фуко для экспериментального доказательства существования суточного вращения Земли.
Г л а в a S
ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1°. Обобщенными координатами механической системы называют независимые параметры q2, ..., qt полностью определяющие конфигурацию этой системы, т. е. положение всех ее точек по отношению к системе отсчета.
Обобщенными скоростями системы называют производные по времени от обобщенных координат системы:
9, = ? (і = 1,2,...;/).
2°. Числом степеней свободы механической систе-'мы называют число s независимых возможных движений этой системы. Для голономной системы число степеней свободы равно числу обобщенных координат этой системы: s = I. В случае неголономной системы s = = I — к, где к — число неголономных связей, наложенных на эту систему. В дальнейшем рассматриваются только голономные системы.
3°. Виртуальными (возможными) перемещениями механической системы называют всякое бесконечно малое изменение конфигурации системы, согласующееся со связями, наложенными на систему в рассматриваемый момент времени t. Если связи стационарны, то действительное перемещение системы за бесконечно
1.5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 97
Г--------------------------------------------------
малый промежуток времени dt совпадает с одним из ее виртуальных перемещений. В случае нестационарных связей действительное перемещение системы не совпадает ни с одним из виртуальных, так как за время dt условия, накладываемые связями, изменяются.
Виртуальное перемещение 5rfc k-й материальной точки системы, обладающей s степенями свободы, равно
* Эг,
5r*= Iwl4,
1 = 1
где Sqi — бесконечно малые приращения обобщенных координат, соответствующие виртуальному перемещению системы и называемые изохорными вариациями обобщенных координат.
4°. Элементарная работа (виртуальная работа), совершаемая на виртуальном перемещении силами, действующими на все п материальных точек голономной системы с s степенями свободы, равна
П П
Sa= S (Г*6г*>= X ^
k = І і = 1
где Ffc = Ffto) + Rfc; F^ и Rft — результирующие, соответственно, активных сил и реакций связей, приложенных к й й материальной точке. Величину
