Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
14°. По определению, четырехмерная плотность тока Ja = O0, j) скалярного поля ф имеет вид
Ja ~ ФЧ1Ф - фдаф*>
где
Эа = (Э/Э0, V) -= (Э0, dk) = O0j f)j, Э2, Э3)
— четырехмерный оператор Гамильтона (набла-опе-ратор) — четырехмерная производная в пространстве-времени.
Ток вещественного поля равен нулю, а комплексного отличен от нуля. Вещественное поле описывает нейтральные частицы, а комплексное — заряженные скаляр ные частицы.
15°. Векторные частицы описываются четырехкомпонентной волновой функцией Aix(X). Каждая ее компонента подчиняется уравнению Клейна—Гордона—Фока. Функцию Aa(X) можно представить в виде
Aa(x) = exp {iPx},
где Px = Ex0 - р • г , а множитель характеризует различные спиновые состояния частицы. Об этих состояниях говорят как о состояниях с различной поляризацией, а — 4-вектор поляризации. Ho для описания векторной частицы нужна трехкомпонентная волновая функция.
Чтобы «убрать» лишнюю компоненту, налагают наАн дополнительные, релятивистски инвариантные условия: Э“Аа = 0,
которые называют калибровкой Лоренца. Из четырех компонент 4-вектора поляризации Zsa независимыми остаются только три.
Vll 4.1. ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ
923
16°. Уравнение для двухкомпонентного спинора х(*)> описывающего частицу со спином 1/2, обычно записывают в виде системы двух линейных уравнений первого порядка:
(i30 + т)%(х) = (1ТйЭй)(1Т1Э1)«р(д:),
(?Э0 - т)у(х) = (п^КгтДМх),
где Xk — матрицы Паули (k = 1, 2, 3), или двумерные комплексные эрмитовы (самосопряженные) матрицы с нулевым следом,
О 1 'о -І '1 0'
, T2 = ' тз
1 0 V і 0 V 0 -1 V /
либо в виде одного уравнения первого порядка; но для четырехкомпонентного спинора
ад =
'<р(х) Х(х)
который называют биспинором,
(гуаЭ“ - ту?(х) = О,
где Ya — матрицы Дирака. Это уравнение называют уравнением Дирака, оно описывает поведение свободного электрона и его античастицы — позитрона.
Матрицы Дирака — это 4x4 матрицы, действующие на спиновую переменную четырехкомпонентного спинора Дирака (биспинора vF). Матрицы Дирака входят в квантовое волновое уравнение для релятивистской частицы со спином 1/2, а также в лагранжианы взаимодействия полей, если во взаимодействии участвуют частицы со спином 1/2 (например, лагранжиан электромагнитного взаимодействия, слабого взаимодействия). Матрицы Дирака уа представляют собой эрмитовы матрицы, удовлетворяющие перестановочным соотношениям:
v..v„ + VnV., = 25..,,.
924
Vll 4. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
где
|Т О]
Y5 = W2Y3Yo. 1= 0 х -
V /
а бар — символ Кронекера. При вычислении сечений процессов с участием частиц со спином 1/2 явный вид матриц. Дирака не нужен, достаточно использовать указанные перестановочные соотношения. Однако при решении уравнения Дирака удобно пользоваться определенным представлением матриц Дирака. Часто применяют представление, в котором матрица Yo диагональна (представление Дирака—Паули). В этом случае матрицы уа и Y5 имеют вид
где Xk — матрицы Паули, I — единичная 2x2 матрица.
Квантово-механические уравнения для частиц с различным спином «аналогичны» динамическому уравнению Ньютона классической физики. Однако в описании свойств и взаимодействия элементарных частиц более эффективным оказывается подход, основанный на вариационных принципах.
17°. Функция действия S среди физических величин занимает в некотором смысле центральное место. Постоянная Планка h является квантом действия. По определению, действие от момента времени X0 до момента х'0 равно
функции Лагранжа {лагранжиан), ClVr= AxlAx2Axs, X11 — координаты мировой точки. Например, для нерелятивистской частицы в статическом потенциальном поле L = T-U, где T — кинетическая энергия, U — потенциальная.
"0 Ґ I 0 ’
V /
/
S=J L(X0) dx0 = J с/(х0) Ax0AV,
Ч
где L(Xa) — функция Лагранжа, rJ(Xn) = ~ —
OV
— плотность
VII.4.2 ФУНДАМЕНТ ЧАСТИЦЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 925
Центральная роль функции действия в физике обусловлена существованием принципа наименьшего действия (принципа Гамильтона). Согласно классической формулировке для реальных процессов в природе величина действия экстремальна — его вариация обращается в нуль: 5S = О.
Из инвариантности действия относительно тех или иных преобразований следуют законы сохранения. На основе принципа наименьшего действия из S и L получают уравнения движения (уравнения Лагранжа). Поэтому построение теории сводится к нахождению фундаментального лагранжиана, описывающего физический мир, и к решению вытекающих из него уравнений.
Наряду с тем, что лагранжиан должен быть инвариантен лоренцевым и C-, P-, Г-преобразованиям, он должен быть вещественной функцией (хотя сами функции поля могут быть комплексными) и удовлетворять ряду математических требований. Лагранжиан выбирают так, чтобы он приводил к дифференциальным уравнениям для функций поля ф(х) не выше второго порядка, поэтому он может зависеть только от самих функций поля и их производных Эаф(ж). Чтобы уравнения для поля были линейными, лагранжиан может содержать только квадратичную комбинацию членов относительно функций поля и их производных. Для описания локального взаимодействия лагранжиан должен быть функцией координат одной точки и не содержать функций и их производных в различных точках. Кроме того, предполагается, что лагранжиан не зависит явно от координат х. Таким образом, лагранжиан поля, описываемого многокомпонентной функцией ф(х), запишется В виде 'Дф, Эаф).
