Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
ходом частицы или системы из начального состояния А (в момент времени t = О) в конечное состояние В (в момент времени t = T). Квантовый переход обычно связан с изменением энергии частицы (или системы частиц).
2°. Изменение состояния системы характеризуется величиной ¦f1АВ> называемой вероятностью перехода из состояния А в состояние В.
Вычисление вероятностей квантовых переходов может быть проведено в случае, когда причина, вызывающая изменение состояние системы, действует в течение конечного промежутка времени. Решение уравнения Шрёдингера, определяющего \\i(x, t) по волновой функции в начальный момент времени t = 0, v|/(x, 0), представляет значительные трудности. Можно получить приближенные решения в тех случаях, когда переход системы вызывается внешними взаимодействиями, слабыми по сравнению с взаимодействиями, действующими в системе. В этих случаях слабые воздействия на систему рассматриваются как малые возмущения.
3°. В теории возмущений гамильтониан возмущенной системы представляют в виде суммы гамильтониа-
на невозмущенной системы H0 (д:) и гамильтониана,
возмущающего взаимодействия W (х, t).
Задачу решают последовательными приближениями. Сначала отыскивают решения уравнения
а затем в его решение вносят поправки, соответствующие первому и последующим приближениям.
4°. Решение уравнения Шрёдингера возмущенной системы д ^
ІЙ|Ї = (H0 + Wh|f
ищут с помощью разложения по волновым функциям стационарных состояний невозмущенной системы:
k
Для зависящих от времени коэффициентов разложения ck(t) получают уравнения
itl^i= X
VI.2.10. КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
791
где
^ftm W = J Ч0)* W ClT1 = Fftm (Oeito
— матричный элемент гамильтониана возмущения, Em-Ew
a CDfcm = ——^—— — воровская частота перехода
?,(0) р(0)
Ьт 1^k ¦
В первом приближении теории возмущений коэффициенты cm(t) = с™ (t) находят из уравнения
= S v^eiv3mht k
где Cfc(O) = 40) — коэффициенты при t = 0 (нулевое
приближение).
Если при t = 0 система находится в состоянии п, то Cft(O) = 5ftn, где 5ftn — символ Кронекера (5ftn = 1 при k = п и 5ftn = 0 при k ї* п), тогда 4 (1)
ih^r1
и
t
сш(г)=^\Утп(Ы^'А1'.
о
5°. Вероятность перехода системы из состояния En в состояние Em к моменту времени t = T под влиянием малого возмущения равна
P =Iccii(Tt)I2=-Iv- (CD )|2.
пт I'-1JI ^2 пт\ пт'\
Г * I U
где Fnnl(CD) = \ут (x)W(x, и>)уп(х) ах — матричныи элемент компоненты Фурье частоты со в разложении возмущения в интеграл Фурье:
+OO
W(x, ?) = J W(x, (о)еш dcD.
792 VI.2 ЗАДАЧИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТ МЕХАНИКИ
Таким образом, переход возможен, если возмущение содержит в своем спектре частоту ыпт, так как при W(x, ыпт) = 0 матричный элемент Wnm (OJnm) = 0, и вероятность перехода Pnm= 0.
6°. Примером квантовых переходов системы под влиянием слабых возмущений могут служить переходы атомных электронов между дискретными уровнями энергии En и Em, происходящие под влиянием переменного электромагнитного поля (например, света). Если длина волны излучения, падающего на атом, намного больше размера атома, то напряженность электрического поля плоской линейно поляризованной волны Ж в пределах атома одинакова и зависит от времени по закону: Ш = где 1 — единичный постоянный вектор.
Энергия возмущения равна W(г, t) = —<?(t)l - р, где р = = — ег — дипольный момент атомного электрона, г — радиус-вектор электрона, проведенный из ядра атома. Матричный элемент энергии возмущения
WnJt) = -Ш)\ ¦ Pnm И IVnm(Wnm) = -IT(OJnm)I. Pnm ,
л ?*
где pnm = I \\iт PWndV— матричный элемент вектора
электрического дипольного момента электрона.
Вероятность перехода En —» Em равна
P = IlE? )|1 - р 12
1 пт L '“nmll1 ги
Й2
-mm
7°. Атом (молекула или др. квантовая система), переходя из возбужденного состояния с энергией Em в нормальное или менее возбужденное состояние с энергией En < Em, испускает квант электромагнитного из-
_?1
лучения частотой vm„ = —-------- . Различают спонтан-
h
ное (самопроизвольное) излучение, осуществляющееся независимо от того действует на излучающую систему внешнее излучение или нет, и вынужденное (индуцированное) излучение, вызываемое внешним излучением той же частоты Vmn.
Вероятность осуществления возбужденными атомами квантового перехода Em —» En за малое время df равна
VI.2.10. КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
793
где первый член соответствует спонтанному излучению, а второй — вынужденному, p(vmn) ¦— спектральная плотность энергии вынуждающего излучения, Amn — коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения, a Bmn — коэффициент Эйнштейна для вынужденного излучения. Коэффициенты Amn и Bmn зависят от свойств излучающей системы и не изменяются с течением времени. Они могут быть рассчитаны методами квантовой механики. В случае вырожденных состояний Em и En
где суммирование проводится по всем различным переходам из Em в En. Коэффициенты Эйнштейна Amn и Bmn связаны соотношением
8°. Под влиянием внешнего излучения с частотой Vmn может также происходить процесс, обратный вынужденному излучению, — поглощение излучения. При этом атом (молекула) совершает квантовый переход En —* Em, поглощая квант электромагнитного излучения hvmn. Вероятность осуществления этого перехода за малое время df равна
