Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
Это уравнение выражает закон изменения механической энергии: изменение механической энергии системы равно сумме работ, совершаемых всеми действующи-Hii на систему непотенциальными силами, и изменения
72
1.3. РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
потенциальной энергии системы вследствие нестаци-онарности внешних потенциальных сил.
Если непотенциальные силы на систему не действуют или не совершают работы, то полная производная по времени от механической энергии системы равна частной производной по времени от потенциальной энергии
d W dW
этой системы: --- = ^ ¦ .
df dt
2°. Систему тел (материальных точек) называют консервативной, если все внешние силы, действующие на эти тела, являются стационарными и потенциальными, а все внутренние силы потенциальны. Потенциальная энергия консервативной системы не зависит явно от времени. Поэтому
dE = О, W = Wv + W = const,
d* к п
т. е. выполняется закон сохранения механической энергии: механическая энергия консервативной системы не изменяется с течением времени. В частности, сохраняется механическая энергия замкнутой консервативной системы.
3°. Систему тел называют диссипативной системой, если в ней действуют диссипативные силы. Эти силы вызывают в системе диссипацию энергии — процесс преобразования механической энергии в другие виды энергии (например, в энергию беспорядочного теплового движения молекул или других частиц системы). Если в замкнутой системе действуют только диссипативные силы, то механическая энергия системы постепенно уменьшается.
6. УДАР
1°. Ударом называют явление конечного изменения скоростей твердых тел за весьма малый промежуток времени т, происходящее при их столкновениях. В процессе деформации тел при ударе возникают мгновен ные (ударные) силы, величина которых весьма значительна. Для системы соударяющихся тел мгновенные силы являются внутренними силами. Их импульсы за время т продолжительности удара называют ударными импульсами. Если в процессе удара влиянием внешних
1.3.6. УДАР
73
сил можно пренебречь и считать, что система' йоуда-ряющихся тел является замкнутой, то в ней выполняются законы сохранения импульса и момента импульса. Рассматривая соударяющиеся тела как систему, состоящую из п материальных точек, получаем:
Tl П
I=I i=l
и
п п
X ri х mIvг = S Гі * m*Ui ’ і= 1 і - і
где Vi и Ui — скорости материальной точки с массой /га,., соответственно до и после удара, a Ti — радиус-вектор этой точки.
2°. Общую нормаль к поверхностям соударяющихся тел в точке их соприкосновения называют линией удара. Удар называют прямым, если скорости центров масс соударяющихся тел перед ударом параллельны линии удара. В противном случае удар называют косым. Удар называют центральным, если при ударе центры масс соударяющихся тел лежат на линии удара.
П р и м е р. Прямой центральный удар двух тел, движущихся поступательно. Скорости тел до удара V1, V2 и после него U1, U2 направлены вдоль одной прямой — оси Ох, проходящей через центры масс тел. Проекции этих скоростей на ось Ox связаны соотношениями:
_ (/U1 - km2)vJx + m2(l + k)v2x
uIx ~ ---------------------------»
Ttil + т2
_ mj(l + fc)!^ + (m2 - (Sm1)U2l
U2 — —---------------------------,
mj + m2
U2x-Uix
Величину k называют коэффициентом восстанов-чия. Она равна отношению модулей относительных простей тел после и до удара и зависит только от уп-
74 1.4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
ругих свойств соударяющихся тел. Уменьшение кинетической энергии тел в результате удара равно
-&W«~ <°ь-v^ «-**)¦
Эта часть механической энергии системы преобразуется в ее внутреннюю энергию. Если ударные силы потенциальны, то удар называют вполне упругим и k = 1. Уддр называют абсолютно неупругим, если после него тела движутся с одинаковой скоростью, т. е. и1х = и%х, и ft = О. Во всех остальных случаях удар называют неупругим и
О < k < 1.
Г л а в а 4
ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
1. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ
1°. Моментом инерции тела относительно оси называют величину, являющуюся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равную сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси. Моменты инерции тела относительно осей прямоугольной декартовой системы координат равны:
cfXX = J (У2 + z2)dm = |(г/2 + г2) pdF,
т V
Jyy = J(x2 + z2)dm = j(x2 + Z2) pdV,
т V
J22 = J(x2 + i/2)dm = J(x2 + i/2) pdK,
т V
где т, р и V — масса, плотность и объем тела, а х, у и г — координаты малого элемента тела объемом dF и массой dm. Для однородного тела момент инерции относительно оси прямо пропорционален плотности тела и зависит от формы и размеров тела, а также от его расположения относительно оси.
1.4.1, МОМЕНТ ИНЕРЦИИ
75
Величины г_ = ]— , г., — ~у- иг,= /— называют
х V т У Цт г Щ т
радиусами инерции тела относительно осей Ox, Oy и Oz соответственно.
Для дискретной системы п материальных точек
П П
Jxx= ? (г/? + zf) "V Jyv = X(х*2 + гЬmi’
і=I i=l
п
jZZ= ? (Л:? + 6'f)'яi•
