Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
dWn = -dy и Wn = -y+C,
где С — постоянная интегрирования.
Сила F, действующая на материальную точку в потенциальном поле, равна взятому с обратным знаком градиенту потенциальной энергии этой материальной точки в поле:
sdW dW д W л F = —grad W = —( -д—2і + -з-= j + “k ) =-VWn,
' ox ду аг )
так что проекции силы на оси декартовых координат равны
V F = -^Е V -JWп
дх ’ У Sy ’ z dz ’
T T T
aV = — i+_?Lj+_ k — оператор Гамильтона (опера-ox ду oz
тор набла).
Элементарная работа потенциальной силы
rdW SW Э W л
SA = Fdl- = -[ -^-5 dx + dy + -^-5 dz .
V ох ду dz )
В случае нестационарных потенциальных сил потенциальная энергия материальной точки зависит не только от координат этой точки, но еще и от времени: Wn = Wu(x, у, z, і)- Поэтому
Г dW л
SA = Fdr = - (dWndtj.
5°. Потенциальная энергия системы
W = -^внеш + wBHyTp
п п п
ТЇТВНЄШ
Здесь Wn — внешняя потенциальная энергия системы, обусловленная действием на нее внешних потенциальных сил, т. е. сил, приложенных со стороны тел,
1.3.4. МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
69
TTTBHVIU
не входящих в состав системы, a Wn — внутренняя
потенциальная энергия системы, обусловленная потенциальными силами взаимодействия между всеми ее частями. В общем случае WriHHyTt) зависит от координат всех п материальных точек, входящих в состав систе-
WBHyTp р, . ттгвнеш
п = Kxl, ух, Z1, ..., Xn, уп, Zn), a Wn может
также зависеть явно от времени t: f\(x±, уг, Z1, ..., хп,. Уп> zn> 0- Это связано с тем, что внешние тела, действующие на рассматриваемую систему, могут двигаться относительно системы отсчета (закон этого движения в каждой конкретной задаче предполагается заданным, а ґакже считается, что все изменения поля внешних тел jгновенно распространяются по всему полю).
Если р®неш = F-(r;, t) — результирующая всех внешних потенциальных сил, действующих на 1-ю материальную точку системы, то
гвнеш
- S(FiV),
I = 1
dr „
где v? = — , rt — радиус-вектор і-и точки. В случае стационарного внешнего силового поля
Э<НЕ Э t
dw-
elt
= 0
dW„
= - ? (FiV) At.
і= I
Внутренняя потенциальная энергия системы равна И'ігебраической сумме потенциальных энергий Wjft взаи-иодействия всевозможных пар точек системы:
Wl
і = lk>i
Ik=I k & і
tap
W,k = -JFift drift = -JFftj drftj = Wki, rik = Fj - rfc,
” rft — Tj и Fjft = -Ffcj — потенциальные силы взаимо-ігтвия і-й и /г-й точек системы. В случае твердого те-
W
= const и можно считать, что Wn = Wn
70
1.3 РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
Примеры.
1. Потенциальная энергия упруго деформированного тела (потенциальная энергия недеформированного тела принимается равной нулю) равна
где Wn — объемная плотность потенциальной энергии,
равная энергии деформации единицы объема тела Wn =
= , а интегрирование проводится по всему объему V
тела. В простейшем случае линейного растяжения или сжатия изотропного тела вдоль оси Ox в нем возникают потенциальные силы упругости, равнодействующая F которых по закону Гука равна F = -Ах, где к — коэффициент пропорциональности, зависящий от формы и размеров тела, а также от упругих свойств его материала, х — вектор деформации, совпадающей по направлению с вызвавшей ее внешней силой. Так как Fx = -kx, a Fy = F2 = O, то
2. Потенциальная энергия материальной точки в поле центральных сил.
F г
Центральная сила F = —- , где г — радиус-вектор,
Г
проведенный из центра сил О, a Fr — проекция силы на направление вектора г; она потенциальна, если Fr зависит только от расстояния г до центра О, т. е. если Fr — Fr(r). Потенциальная энергия материальной точки, на которую действует потенциальная центральная сила F, зависит от расстояния г между точкой и центром О по закону
где R — расстояние от центра сил до точки поля, в которой потенциальная энергия материальной точки принимается равной нулю. Чаще всего полагают R = т. е. полагают Wn (°°) = 0.
Wn = Ji^dV,
V
R
Wn= $Fr(r)dr,
Г
1.3.5. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
71
Частные случаи поля центральных сил:
а) потенциальная энергия материальной точки массы т. в центральном гравитационном поле Земли
-Gn^t (г> R0),
где M и R0 — масса и радиус Земли, Wn (оо) = О;
б) потенциальная энергия точечного электрического заряда q в центральном электростатическом поле другого точечного заряда Q:
W = Ч® п 4пе0г ’
где E0 — электрическая постоянная, г — расстояние между зарядами и Wn (оо) = О.
5. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
1°. Элементарное изменение кинетической энергии системы п материальных точек равно алгебраической сумме элементарных работ всех сил (внешних и внутренних), действующих на точки системы:
П П
dwK= X5A= EFidri-
І=I I=I
где Fi — результирующая всех сил, приложенных к і-й материальной точке.
Элементарное изменение механической энергии системы
dW= d^At + XfidrZ.
где Wn — потенциальная энергия системы, a f, — ре-іультирующая всех непотенциальных сил, действующих на і-ю материальную точку системы.