Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
4/тгє0о(,ш
Последнее выражение совпадает с приведенным в
п. 5.4.3°, если „
= e2Ne = !
е 2ту т’
где у — удельная проводимость металла, а т — средняя продолжительность свободного пробега электронов в металле.
704
V.8. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
1°. Произвольный, периодический во времени физический процесс, зависимость которого от времени описывается периодической с циклической частотой ш функцией ф(?), удовлетворяющей условиям Дирихле, может быть представлен в виде суперпозиции бесконечного числа гармоничных колебательных процессов, частоты которых образуют дискретную последовательность. Эту сумму называют рядом Фурье:
ф(г) = ^ (An cos TW)t + Bn sin n(ot),
п = о
где An к Bn — коэффициенты Фурье:
iO + т
А° = \ I cp^dt' 5O = °>
tO
f0 + T t0 + T
Ap = J ф(?) cos пШ dt, Bn = ^ J (р(ї) sin rmt dt,
iO *0
O JT
T = — , а начальный момент времени <п произволен, ш
Ряд Фурье может быть также записан в виде (p(t) = C0 + YjCn cos (иы< + Vn)-
Tl - 1
Совокупность величин Cn образует спектр амплитуд функции ф(?), а совокупность XjZll — спектр начальных фаз; спектр интенсивностей определяется сово-
купностью величин Cn .
2°. Произвольный, непериодический во времени физический процесс может быть представлен в виде ряда Фурье (п.1°) в интервале времени (в течение которого процесс удовлетворяет условиям Дирихле) t0< t к t0+ Т, где величины t0 и T > 0 произвольны. Однако вне указанного интервала времени ряд Фурье не будет равен представляемой им функции. Представление же рядом Фурье периодического во времени процесса имеет силу в любой момент времени.
V.8.2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
705
3°. Произвольный непериодический во времени физический процесс, зависимость которого от времени описывается функцией f(t), удовлетворяющей условиям Дирихле на любом конечном интервале времени,
причем интеграл J \f(t)\ d< сходится, может быть представлен в виде бесконечной суммы периодических во времени колебательных процессов, циклические частоты которых (о образуют непрерывную последовательность. Эту сумму называют интегралом Фурье:
f(t) = -L j C(w)eiatdw = I Re |С((о)е!‘°'с1ш,
где
С(ш) = J /(?)е d?, = .А(ш) - Ш(ш),
а символ Re означает действительную часть следующего за ним комплексного выражения,
или
т= I |[жы) cos ыt + B(ui) sin (])<]do).
О
Величины
dC = Ї С(ы) d(Q л
имеют смысл бесконечно малых комплексных амплитуд синусоидальных колебаний с циклическими частотами отшдош + d(G, из которых составляется f(t). Соответственно величину C(w) называют спектральной плотностью амплитуды. Величину
g8(o) = C(W) С*(CO) = IC(W)I2,
где С*(ш) = -А(со) + iB(w) — функция, комплексно сопряженная C(w), называют спектральной плотностью интенсивности. Она характеризует распределение энергии в спектре.
4°. Примером ограниченного во времени колебательного процесса может служить акт излучения цуга волн. Функция f(t), соответствующая простейшему цугу волн в виде оборванной рис V82
23 Зак 2940
706
V.8. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА
синусоиды (рис. V.8.2), излучаемому источником, который колеблется с циклической частотой CO*, имеет йид
о
0
при t >
2 ’
где т — продолжительность излучения цуга, а — амплитуда.
Представление f(t) в виде интеграла Фурье имеет вид
fit) = ! jB(co) sin соt dco,
где
о
т/2
Б(со) = 2а J sin CO0E1 sin ?0? dE, =
о
« I Sinj^(O)0-ш)|] Sinj^(O)0+ CO)bJ
В случае, когда со0т 3> 2л, т. е. длительность излучения во много раз больше периода колебаний источника волн, функция g2(co) = [Б(со)/л]2, характеризующая распределение интенсивности в спектре, выражается следующей приближенной формулой:
[ Sin^CO0
Jf2(W) - Ц
График этой функции приведен на рис. V.8.3. Центральный максимум соответствует со = ш0 и равен ^ j •
Расстояние Дсо между двумя нулевыми значениями ^2(Cjj), ограничивающими центральный максимум, равно — . Следовательно,
T
Дсо т = 4л, и Дсо Ax = 4лс,
V.8.2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
707
где Ajc = тс — пространственная протяженность цуга в вакууме. Чем короче цуг, тем шире его спектр, т. е. тем сильнее цуг отличается от монохроматической волны.
5°. Спектр волны называют сплошным, если спектральная плотность ее интенсивности g2(со) — непрерывная функция (0, отличная от нуля в широком интервале частот. Сплошной спектр имеет, например, свет, излучаемый раскаленными твердыми телами и жидкостями. Свет со сплошным спектром можно рассматривать как совокупность монохроматических волн, частоты которых образуют непрерывную последовательность.
Спектр волны называют линейчатым, если g2(a>) практически отлична от нуля лишь в узких дискретных интервалах частот Cni ± і Л(о; (Acnj <К ш,), каждому
из которых соответствует своя спектральная линия. Свет с линейчатым спектром излучают, например, атомы раскаленных разреженных газов. В первом приближении такой свет можно рассматривать как совокупность монохроматических волн с частотами сог.
Спектр волны называют полосатым, если соответствующие ему спектральные линии образуют дискретные группы — полосы, которые состоят из множества тесно расположенных линий.
