Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
4°. Типичным примером непотенциальных сил могут служить диссипативные силы — силы, зависящие от скоростей точек механической системы и совершающие отрицательную суммарную работу при любых перемещениях механической системы. Таковы, например, силы трения скольжения и силы сопротивления движению тел в жидкостях и газах.
К непотенциальным силам относятся также гироскопические силы — силы, зависящие от скоростей материальных точек, на которые они действуют, и направ-
T
1.3.4. МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
65
иные перпендикулярно к этим скоростям. Работа
і мроскопических сил всегда равна нулю. Например, ги-]»оскопической силой является магнитная сила Лоренца, действующая со стороны магнитного поля на движущуюся в нем заряженную частицу.
Механическую систему называют консервативной системой, если все действующие на нее непотенциальные силы (внешние и внутренние) работы не совершают, а псе внешние потенциальные силы стационарны.
4. МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
1°. Механической энергией W называют энергию механического движения и взаимодействия тел. Она равна сумме кинетической Wk и потенциальной Wn энергий:
W = Wk + Wn.
2°. Кинетическая энергия тела является мерой его механического движения и измеряется той работой, которую может совершить это тело при его торможении до полной остановки. Кинетическая энергия материальной точки равна половине произведения массы т точки на квадрат скорости v ее движения: w = пш2 _ р2 _ pv к 2 2т 2 '
В случае плоского движения, заданного в полярных координатах (р, ср),
(Р2+Р2Ф2)-
Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в его состав, и выражается следующим интегралом:
Wk = - J V2 dm = і Jpi;2 dV,
m V
где dm — масса малого элемента тела, dF, р и D — объем, плотность и модуль скорости этого элемента, а т и V — масса и объем всего тела.
В случае поступательного движения тела со скоростью Vl
3 Зак. 2940
66
1.3. РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то его кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции тела J относительно оси вращения на квадрат угловой скорости со:
где р — расстояние от элемента тела массой dm до оси вращения, L — проекция момента импульса на ось вращения.
Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О с угловой скоростью «о, равна
где L — момент Импульса тела относительно точки О.
Если J1, J2 и J3 — главные моменты инерции тела для точки О, a W1, со2 и со3 — проекции вектора ш на главные оси инерции тела, проведенные через точку О, то кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О, равна
системы материальных точек равна сумме кинетической энергии поступательного движения системы CO
системы в ее относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе отсчета с началом в центре масс (теорема Кенига):
т
J1W1 + J 2ы2 + J3W3
2
3°. В самом общем случае кинетическая энергия
скоростью Vc центра масс кинетической энергии Wk
П
2
2
т ?> _
UliVi
am = ^ т-г — масса всей системы, t= 1
1.3.4 МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
67
В частности, для твердого тела массы т w = + Jr^2
2 2
де Jq — момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения вокруг центра масс, а со — угловая •сорость тела. В общем случае мгновенная ось переме-
I ициется в теле, и Jc изменяется с течением времени; B-Zf. “= const в случае плоского движения тела (например, при скатывании кругового цилиндра или шара с на-.лонной плоскости).
Пользуясь системой координат, жестко связанной с лом, начало которой находится в центре масс С тела,
и.іражение для кинетической энергии твердого тела южно представить в форме:
_ ItlVc J1W1 + J2Co2 + J3W3 _
к ~2 2 ’
ядгсь J1, J2, J3 — главные центральные моменты инерции тела; а проекции вектора to на главные центральные оси инерции тела равны
Co1 = ijf sin 0 sin ф + 0 cos ф,
Co2 = V sin 0 cos ф — 0 sin ф,
CO3 = ijf cos 0 — ф ,
”"p y, 0 и ф — углы Эйлера, \Jr=^,0=—,ф=?Ї5В.
df df df
4°. Потенциальной энергией называют часть энергии механической системы, зависящую от конфигурации системы, т. е. от взаимного расположения частиц “ истемы и их положения во внешнем силовом поле. Ее измеряют той работой, которую совершают потенци-C (I.ные силы (внешние и внутренние), действующие на и-е частицы системы, при переходе от рассматриваемой " пнфигурации системы к такой, которую называют ну-пой конфигурацией и для которой потенциальную м'ргию системы условно считают равной нулю. Выбор юной конфигурации, т. е. начала отсчета потенци-I-Iioii энергии, совершенно произволен, так как в лю->м опыте можно измерить только изменение по-
68
1.3. РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
тенциальной энергии, но не ее абсолютное значение. В каждой конкретной задаче этот выбор производится так, чтобы максимально упростить ее решение.
Потенциальная энергия Wn материальной точки в потенциальном поле связана с силовой функцией У соотношением:
