Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
2
V.7.12. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗАХ
581
где р н р — плотность и давление газа, Vn и Uc — проекции скорости газа (в системе координат, жестко связанной с рассматриваемым элементом поверхности разрыва) на нормаль к элементу поверхности разрыва и касательную к ней плоскость, h — энтальпия единицы массы газа, а индексы 1 и 2 относятся к состояниям газа по разные стороны поверхности разрыва, т. е. до и после скачка уплотнения.
3°. Скачок уплотнения называют прямым, если его поверхность нормальна к скорости набегающего потока газа: vu = О и vln = U1, v2n = v2- В противном случае скачок уплотнения называют косым.
4°. Некоторые соотношения для скачков уплотнения:
гіг (ріиьг)2> Jipz Pi)(^ ^)-
Pi Рг
Уравнение ударной адиабаты (адиабаты Гюгонио):
K-H2+ i(p2-Pi)(J- +^) = 0’
ИЛИ
^-П2л-\(Р2+Р1)(к -^) = 0,
где и — внутренняя энергия единицы массы газа.
Для идеального газа с постоянными удельными теп-
(К+1)^-(к-1) (к + 1)—+(к-Г)
P2 Pl Р2 Pl
— = -------Z-------- , ИЛИ — = ----------------- ,
Pl (к + 1)-(к-1)^ р1 (к-1)^ + (к + 1)
Pl Pl
Zl = pZpI = pJl Г(к+ 1^Pi +(к~ ]
Tl Р1Р2 PlL(K-I)P^(Ktl)P2J'
о
где к = — показатель адиабаты. При неограничен-
Cv
ном возрастании скачка давления — —*¦ 00 отношение
-P і
582
V 7. ОСНОВЫ АКУСТИКИ
плотностей газа после и до скачка стремится к конечно-
«/ X 1
му пределу, равному ------^. Этот результат является
следствием необратимости процесса адиабатного сжатия газа ударной волной, сопровождающегося диссипацией энергии и возрастанием энтропии. Если течение газа перед ударной волной является потенциальным, то за ней оно становится вихревым.
Скачок энтропии в ударной волне слабой интенсивности пропорционален кубу скачка давления:
12 T1
( д2-P
Эр2
iPz~Pi)3
где T1 — температура газа перед ударной волной, s и р -
Э21
удельная энтропия и плотность газа,
___P
Эр2
>0.
5°. После прямого скачка уплотнения течение газа становится дозвуковым. Скорости газа перед (U1) и за (и2) скачком уплотнения удовлетворяют соотношениям
2
viv2 = с* , U1 > C1 и V2 < с2,
где C1 и с2 — скорости звука до и после скачка, с* — критическая скорость.
Для идеального газа
V.1.12. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗАХ
583
Связь между параметрами состояния газа имеет вид: РЛ = _?2L M2 - ^ = (к+ 1)Mi
P1 к+1 1 к + 1’ P1 (к-1)М \ + 2'
T2 = [2kMi + (k-1)][(k-l)Mf + 2] ті (к + 1)2Mj
V2 I(K-I)Mf+ 2 V1
M2 = Л = I--------1---, где M1 = -1
С2 ^KM1-(K-I) С1
(М — число Маха)
Изменения параметров состояния идеального газа и скорости:
= ^тл(мі _1)= )=
= P1C* (Mj* -1), М| — 1 2 1Ч
P2-Pi = Pi-T-^- “ PitM1, 1),
И_±м?+ 1
2 1
тг-T1 - EiIT1Mf [1 -(J1 -j, + )!] -
(Mjjt-I)T1
М?
(к + 1 . Л 4I
ІіГ^Т 1V
I-Mj*
где M1* — — — коэффициент скорости потока перед
V
с
скачком, связанный с M1 соотношением
584
V.1 ОСНОВЫ АКУСТИКИ
Скачок ®°- Косой скачок уплотнения
уплотнения (рис. V.1.3) в идеальном газе.
Угол а между вектором V1 ско-?2 рости газа перед скачком и по-
верхностью скачка может быть любым в пределах от а0 до п - а0,
уплотш О J
Рис. V.1.3
cI
где sin CX0 = — (uln > C1). В ре-
зультате прохождения через поверхность скачка линии тока «преломляются» ((3 < а, так как v2n > vln, a D2x > и]г)‘
tg(3 = tg (а - 0) =
2 (к - l)Mj sin2 а + 4 (к + l)M2sin2 2а
M2Sin2 а - 1
1 + М?р±!-вш*а)
ctg а;
(3 = а, если а = - (прямой скачок) или a = arcsin — .
2 D1
Связь между составляющими скоростей, нормальными к поверхности разрыва:
vIn v2n =с?- V21 cos2 a, vln > C1, и2п < с2.
При этом в зависимости от значения касательной составляющей vT = U1COs2 а скорость U2 за косым скачком может быть как дозвуковой, так и сверхзвуковой:
M2 =
2 + (к - l)Mj
2MjCos2a
^2кМ2єіп2 а-(к-I) 2 + (к-l)M2sin2 a
Отношения давлений и плотностей газа: P2
41 = -^LM2Sin2CX-
P1 к+1 1 к + 1
P2 _ (K + l)M1sin2a Pi (к+ l)M2sin2a + 2
V.1.12. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗАХ
585
7°. Ударной полярой называют кривую зависимости проекции V2y скорости V2 за скачком уплотнения на ось Oy, перпендикулярную к скорости V1 до скачка, от проекции м2х скорости V2 на ось Ох, параллельную V1. Уравнение ударной поляры имеет вид
первая из которых соответ-ствует прямому скачку уп- ис ' '
лотнения, а вторая — ударной волне нулевой интенсивности: vz = U1. Произвольная точка А ударной поляры соответствует косому скачку уплотнения, способ определения углов а и P для которого ясен из рис. V.1.4; отрезок OA = v2.
8°. Если тело движется в газе с дозвуковой скоростью (v < с), то создаваемые этим телом слабые (звуковые) волны распространяются в газе по всем направлениям. В том числе они, опережая тело, охватывают также область газа, лежащую перед движущемся телом.
В случае движения тела со сверхзвуковой скоростью (и > с) звуковые волны охватывают лишь часть объема газа, лежащую позади движущегося тела и ограниченную некоторой поверхностью, называемой характеристической поверхностью или поверхностью слабого разрыва. При сверхзвуковом прямолинейном движении тела исчезающе малых размеров характеристическая поверхность имеет вид круговой конической поверхности (рис. V.1.5), V Qr^Ol вершина которой совпадает с движу-щемся телом О, а угол а между обра-зующими и траекторией тела удовлет- Рис V15
