Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
где E — модуль Юнга, (X — коэффициент Пуассона <
< [X < і j , р — плотность, G — модуль сдвига. В твердых средах скорость продольных волн всегда больше скорости поперечных волн
Скорость продольных волн в тонком стержне, поперечные размеры которого во много раз меньше длины волны, равна
cI =
Скорость распространения поперечных волн в струне — тонкой гибкой нити, в которой с помощью внешних сил создано большое натяжение, равна
где CT=- — нормальное напряжение, F — сила натяжения, S — площадь поперечного сечения струны, р — плотность материала струны.
3°. В анизотропных твердых телах упругие свойства неодинаковы по разным направлениям. Поэтому скорости продольных и поперечных волн зависят от направления их распространения, а для поперечных волн — также от их поляризации, т. е. от ориентации плоскости, проведенной через вектор скорости волны и вектор смещения частиц среды в рассматриваемой точке (эту плоскость называют плоскостью колебаний).
3. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
1°. Теорема Гельмгольца: всякое однозначное и непрерывное векторное поле F, обращающееся в нуль в бесконечности, может быть представлено, и притом единственным образом, в виде суммы градиента некоторой скалярной функции <р и ротора некоторой векторной функции А, дивергенция которой равна нулю:
F = grad ф + rot A, div A = O,
556
V.1. ОСНОВЫ АКУСТИКИ
или
F = V<p + V X А, V • А = О.
Функцию <р называют скалярным потенциалом поля F, а функцию А — векторным потенциалом этого поля.
2°. В случае акустических волн в твердых средах скалярный потенциал <р векторного поля смещений S частиц среды из положений их равновесия характеризует продольные упругие волны и удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению, называемому волновым уравнением’.
где C2 — скорость продольных волн, Д — оператор Jlan-
Векторный потенциал А характеризует поперечные упругие волны и удовлетворяет дифференциальному уравнению
где C1 — скорость поперечных волн, V-A = O.
3°. Акустические волны в жидкостях и газах1* характеризуются скалярным потенциалом <р скоростей v' колебательного движения частиц среды:
Из уравнения неразрывности и уравнений движения следует, что для акустических волн, распространяющихся в неподвижной однородной безграничной идеальной жидкости, на которую не действуют массовые силы, потенциал <р удовлетворяет волновому уравнению
или
?ф = 0,
rot rot А = — — , или ДА =
с2
cI
v' = grad ф.
Э2ф Э2ф Э2ф _ 1 Э2ф
э!2 Э^2 0І2 ^2 0Ї2’
1 * В дальнейшем под словом «жидкость» понимают также и газы, которые в механике сплошных сред рассматриваются как сжимаемые жидкости.
V.I.3. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
557
или
д<р= А§!ф7 V с2 0І2 ’
где с — скорость распространения волн. Такому же уравнению удовлетворяет каждая из компонент вектора v'.
4°. Давление р' в жидкости, избыточное над равновесным, связано с <р соотношением
р =-рэ7’
где р — равновесная плотность жидкости. Давление р' удовлетворяет волновому уравнению
Др' = I 3V .
Cz Э*2
5°. Отклонение р' плотности жидкости от равновесного значения равно
o' = El = --P ?2 ?2 0^
причем для р' также справедливо волновое уравнение Др'= м с2 0І2
6°. Продольную волну называют плоской, если потенциал <р и другие величины, характеризующие волновое движение среды, зависят только от времени и одной из пространственных декартовых координат, например от х.
Волновое уравнение для продольной плоской волны имеет вид
Э2ф _ 1 Э2ф ^2 dt*’
Его общее решение выражается следующим образом: <р = Z1^ct -х) + f2(ct + ж), .
где f j и /2 — произвольные функции, причем Z1 (Cf - х) — потенциал для плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси Ox, a f2(ct + х) — потенциал для плоской волны, распространяющейся в противоположном направлении. Обе эти волны, в отличие от стоячих волн, называют бегущими волнами.
7°. В продольной бегущей плоской волне <р = f(ct - х) вектор смещения частиц среды S = Si, где і — орт оси Ох,
558
V.1. ОСНОВЫ АКУСТИКИ
a- S — алгебраическое значение смещения, удовлетворяющее волновому уравнению
Э2S = 1 Э 2S дхг с2 Эі2 '
В жидкости скорость v' колебательного движения частиц среды связана с избыточным давлением р' и изменением плотности р' соотношениями
р' = PCl/ ир/= — .
с
Произведение рс плотности среды на скорость распространения в ней продольных волн называют волновым сопротивлением среды.
8°. Продольную волну называют сферической, если потенциал ф и другие величины, характеризующие волновое движение среды, зависят только от времени и расстояния г от некоторой точки пространства, называемой центром волны. Сферические волны возбуждаются в однородной и изотропной среде точечным источником волн — колеблющимся телом, размеры которого малы по сравнению с расстоянием до рассматриваемых точек среды.
Волновое уравнение для продольной сферической волны в сферической системе координат:
Jl JL Гг2Эф ^ _ Jl Э2ф г2 Эг V Э г ) с2 St2
Его общее решение имеет вид
ф = І fx(ct - г) + і f2(ct + г),
