Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
2. ИНТЕРВАЛ
1°. Четырехмерным пространством называют воображаемое пространство четырех измерений, на осях которого откладываются три координаты х, у, z и время t. Любое событие изображается точкой в четырехмерном пространстве (мировая точка). Движению некоторой частицы в пространстве и во времени соответствует линия в четырехмерном пространстве (мировая линия).
2°. Если X1, yv Z1, fj и х2, у2, Z2, t2 — координаты двух событий в четырехмерном пространстве, то величину
12
= Jc2(t2 -t1)2-( X2- X1)2 - (у2 - IZ1)2 - (Z2 - Z1)2
называют интервалом между двумя событиями.
Интервал между двумя бесконечно близкими событиями:
ds = Jc2dt2 - dx2 - dу2 - dz2 = Jc2dt2 - dI2 ,
где dIz = dx2 + dy2 + dz2.
Откладывая на оси времени вместо t переменную т = ct, величину ds2 = dx2 - dx2 - dy2 - dz2 можно рассматривать как квадрат элемента длины в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве.
IV.13.2. ИНТЕРВАЛ
541
3°. Интервал между двумя событиями одинаков во всех инерциальных системах отсчета (инвариантность интервала):
S12 = S12 или с2(f2 - t\ )2 - (I12 )2 = Sj2 ,
где (I12 )2 = (X2 - X1 )2 + (у2 - у\ )2 + (Z2 Z1 )2.
В осях координат I12 и c(t2 ~ t1 ) эта зависимость изображается в виде трех ветвей гипербол с асимптотами c(t2 — Z1 ) = I12 (см. рис. IV.13.2). Ветви I и II соот-
2
ветствуют вещественному значению интервала (S12 > О).
Такой интервал между событиями называют време-ниподобным интервалом. В этом случае знак разности Z2 — Z1 одинаков во всех инерциальных системах отсчета К' независимо от значения скорости V их движения относительно «неподвижной» системы отсчета K(0<V < с). Иначе говоря, во всех системах отсчета К' второе событие происходит позже первого (ветвь I гиперболы), либо раньше первого (ветвь II). Точки А и A1 на рис. IV. 13.2 соответствуют такой системе отсчета К', в которой оба события происходят в одном и том же месте (х'2 =X1Jy2= i/j , z2 = Z1 ), а модуль промежутка времени между событиями Iz2 — Z1 I имеет минимальное значение: |z2 - Z1 | = Sl2
4°. Мнимые интервалы между двумя событиями 2
1 и 2 (s12 < 0) называют
пространственноподобными интервалами. Такому интервалу на рис. IV. 13.2 соответствует ветвь III гиперболы. В этом случае ни в какой инерциальной системе отсчета К' рассматриваемые события не происходят в одном и том же
месте (I12 > ]s12 |). Времен-
C
542
IV 13. ОСНОВЫ СПЕЦ. ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ная последовательность событий неоднозначна. В одних системах отсчета К' t'2 -» (верхняя половина
ветви III гиперболы), В других t'2 < t'l (нижняя половина ветви III). Точка В соответствует системе К', в которой оба события происходят одновременно (t 2 = t\ ), а пространственное расстояние между местами их совершения минимально и равно |s12|-
Если событие 2 является следствием совершения события 1, то очевидно, что во всех системах отсчета К' 12 > t\ . Поэтому любым двум событиям, связанным причинно-следственной связью, соответствует време-ниподобный интервал.
3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА И ИХ СЛЕДСТВИЯ
1°. Преобразования координат и времени совершения одного и тот же события при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, удовлетворяющие постулатам специальной теории относительности, называются преобразованиями Лоренца. В соответствии с принципом относительности и свойствами симметрии пространства и времени эти преобразования линейны.
Если система отсчета К' движется относительно системы отсчета К со скоростью V вдоль положительного направления оси Ох, а сходственные оси координат в К и К' попарно параллельны (см. рис. IV. 13.1), преобразования Лоренца имеют вид:
x' = y(x-Vt), у= у, z'= 2,
где Y = (I — V2/с2) 1/2 —релятивистский множитель.
Преобразования Лоренца симметричны и сохраняют свой вид при переходе от К' к К с переменой знака у V:
x=y(x' + Vt'), у = у, Z = z’, t = Y^f'+ .
Преобразования Лоренца переходят при малых скоростях [ - 1 ] в преобразования Галилея. Координа-
IV.13.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА И ИХ СЛЕДСТВИЯ
543
ты и время не могут быть мнимыми. Поэтому скорость Vотносительного движения любых двух инерциальных систем отсчета не может быть равна скорости с света в вакууме или превосходить ее: V < с.
Из преобразований Лоренца видно, что понятие одновременности совершения двух событий относительно: если Z2 = > но xZ ^ xI > то ^ ^l-
2°. Инвариантность физической теории относительно преобразований Лоренца — релятивистская инвариантность (лоренц-инвариантностъ) — является необходимым условием правильности этой теории. Отсутствие релятивистской инвариантности какого-либо физического закона означает, что он должен различно формулироваться в разных инерциальных системах отсчета, что, в нарушение принципа относительности, делает инерциальные системы неравноценными. Нарушение лоренц-инвариантности физической теории указывает, что данная теория является в лучшем случае приближенной, справедливой с определенной точностью лишь при некоторых условиях. Например, уравнение Шрёдин-гера — основное уравнение нерелятивистской квантовой механики — релятивистски неинвариантно и имеет вполне определенную область применения. Уравнения релятивистской динамики релятивистски инвариантны и при і> «SC с переходят в уравнения механики Ньютона, релятивистски неинвариантной и справедливой лишь при V <К с.
