Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
6°. В случае плоского движения точки M (1.1.2.3°) часто удобно пользоваться полярными координатами гиф, где г — расстояние от полюса О до точки M, а ф — полярный угол,
отсчитываемый от полярной оси OA (рис. 1.1.3). Скорость V точки M можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие — радиальную скорость Vr и трансверсальную скорость V4,:
V = Vr + V4,,
причем
I dr
V=-
Йф
T Ttr и vO ~ Si [kr]-
Здесь г — полярный радиус-вектор точки М, а к — единичный вектор, направленный перпендикулярно к плоскости движения точки так, что из его конца вращение вектора г при увеличении полярного угла ф видно происходящим против часовой стрелки.
Модуль вектора скорости v точки М, совершающей плоское движение,
-$)4? •
За малое время dt полярный радиус-вектор г точки, совершающей плоское движение, прочерчивает круговой сектор
площадью dS = ^ г2dip. Поэтому величину
CS =
dS
dt 2' dt называют секторной скоростью.
1 ?йф 1 S= — Г*----- = — Г1)
2 dt 2 <р
§ 1.1.4. УСКОРЕНИЕ
13
§ 1.1.4. Ускорение
1°. Для характеристики быстроты изменения вектора скорости точки в механике вводится понятие ускорения. Средним ускорением точки в интервале времени от t до t + At называется вектор аср, равный отношению приращения Av вектора скорости точки за этот промежуток времени к его продолжительности At:
= — аср - At •
2°. Ускорением (или мгновенным ускорением) точки называется векторная величина а, равная первой производной по времени от скорости V рассматриваемой точки или, что то же самое, второй производной по времени от радиуса-вектора г этой точки:
d\ d2 г а dt dt2•
Ускорение точки в момент времени t равно пределу среднего ускорения аср при неограниченном уменьшении продолжительности интервала At:
a = Iim ^ = Iim асп. д*-»о At д*-» о р
3°. Разложение вектора а по базису прямоугольной декартовой системы координат:
a = axi + ау j + а2 к.
Проекции ускорения на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих проекций скорости или, что то же самое, вторым производным по времени от соответствующих координат точки:
_ dvx _ dzx _ dvy _ d2у _ dvz d2z
dt dt*'ay dt dt2’a* dt dt2'
Модуль вектора ускорения
a = |a| = J(dvx/dt)2 + (dvy/dt)2 + (dvz/dt)2 =
= fj(d2x/dt2)2 + (d2y/dtУ + (dzz/dt2)2
14
ГЛ. LI. КИНЕМАТИКА
4°. Вектор ускорения точки лежит в соприкасающейся плоскости (1.1.2.4°), проведенной в рассматриваемой точке M траектории, и направлен в сторону вогнутости траектории BC (рис. 1.1.4). В этой плоскости вектор ускорения а можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие ат и а
а = ат + ап.
5°. Составляющая ат называется касательным, или тангенциальным, ускорением точки. Она направлена по касательной к траектории точки и равна
dv dv
а* ~ dtx и “т ~ dt'
где т = \/v — единичный вектор касательной, проведенный в точке M траектории в направлении скорости v точки, ат — проекция касательного ускорения на направление вектора v. Касательное ускорение характеризует быстроту изменения модуля вектора скорости точки. Векторы ат и v совпадают по направлению, т. е. ат > 0, при ускоренном движении точки (1.1.3.4°); векторы ат и v взаимно противоположны по направлению, т. е. ат < 0, при замедленном движении точки и ат = О при ее равномерном движении. Если ат = const ^ 0, то движение называется равнопеременным. При равнопеременном движении модуль скорости точки зависит от времени линейно:
V = Vq + aTt,
где V0 = и(0) — модуль начальной скорости, т. е. скорости в начальный момент времени t = 0. Если ат = const > 0, то движение точки называется равноускоренным, а если ат = const < 0, то движение точки называется равнозамедленным.
6°. Составляющая ап ускорения а точки называется ее нормальным ускорением. Она направлена по главной нормали к траектории в рассматриваемой точке M в сторону к центру
Рис. 1.1.4.
§ 1.1.5. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА 15
кривизны траектории (1.1.2.4°). Поэтому ап часто называют также центростремительным ускорением точки. Нормальное ускорение равно
2
V
ап - д П >
где п — единичный вектор главной нормали, a R — радиус кривизны траектории. Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления вектора скорости точки.
Если точка движется прямолинейно, то нормальное ускорение ап = 0 и ускорение точки равно ее касательному ускорению: а = ат.
§ 1.1.5. Поступательное и вращательное движения твердого тела1
1°. Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом (например, прямая AB на рис. 1.1.5), перемещается, оставаясь параллельной своему первоначальному направлению (A0B0)- Поступательно движутся относительно Земли, например, кабина лифта, резец токарного станка, стрелка компаса при перемещении его корпуса в горизонтальной плоскости и т. д.
При поступательном движении твердого тела все его точки перемещаются совершенно одинаково: за малое время dt радиусы-векторы этих точек изменяются на одну и ту же величину dr. Соответственно в каждый момент времени скорости всех точек тела одинаковы и равны dr/dt, а следовательно, одинаковы и их ускорения. Поэтому кинематическое рассмотрение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения любой из его точек. В динами-