Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
Г-______P____
l+ecos<p’
где р — параметр кривой, е — ее эксцентриситет (е < 1 у эллипса, е = 1 у параболы и е > 1 у гиперболы).
6. Таблица производных простейших функций.
Функция
Производная
Функция
Производная
X
./71
а
In х IogaJC Ig*
sin х
COS X tg X Ctg X
тпхт- 1
ах In а
1
х
х Ina Igg
х
COS X -sin X 1
2
COS X
. 2 sm х
arcsm х arccos х arctg х arcctg х sh х ch х th х cth х
Jl-X2
1
1
I + X2 1
I + X2
ch х
sh х 1
ch2x
____1_
sh2x
§ IX.5. КРАТКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
721
7. Таблица основных интегралов (постоянные интегрирования опущены).
rm + 1
р фПЬ т- х
I ^dx= 'STfT J--InW
iX
J sin X dx = — cos X J cos X dx = sin x J tg x dx = — In |cos x) J ctg x dx = In |sin л)
I
I
dx = tgx f dx _
2 COS X ¦I ,2 ch x
dx = -ctg X f dx _
. 2 Sin X J ,2 sh x
dx I X = -arctg -a a f dx
a2+ X2 iJa2-X2
dx Я Il a + x (для И < a) f dx
O2-X2 a-x Ja2 + X2
dx = j-ln 2 a x-a (для W > a) Г dx
X2 -a2 x + a JX2-a2
e* dx = e* ax
a*dx= Y~ m о
sh x dx = ch x ch x dx = sh x th x dx = —In |ch x] cth x dx = In |sh л| th x
= arcsin -a
= In |x + Jx2 + a21
- = In |x + Jx2 -a21
8. Таблица некоторых определенных интегралов (постоянная о > 0).
OO * OO
Ie-a2X2 dx = Ф [ xse~°2x2dx = ——-j
J 2 a J 2a4
O O
OO f xe-a2*2dx = -Ц OO f x*e-a2x2dx = ^
1 Ia2 V. OO P Cr
O O
OO f xze~a2x2dx = -2? OO tx^dx _
•I 4a3 Kx-I 15
O O
iZZ
ДОПОЛНЕНИЯ
9. Разложение функций в степенные ряды. 1
Если функция f(x) непрерывна и имеет производные всех порядков в точке X = а, то во многих случаях для функции f(X) справедливо разложение в ряд Тейлора:
т -m+^jr f'w + Г(0)+- + ftn)(a)+-
Эта формула верна при тех значениях х, для которых Iim Rn = 0, где Rn = f'n + *(?), а значение % находит-
ся между а и х.
В частности, при а = 0 ряд Тейлора называется рядом Мак-лорена:
т - rn + fj ПО) + ~ f"( 0) +... + ^/w<0) +...
Эта формула верна при тех значениях х, для которых
Iim Rn = 0,
л —> °°
где Rn = f(n + а 0 < а < 1.
Таблица разложения некоторых функций в ряд Маклорена
Функ- ция Разложение в ряд Маклорена Область сходимости
(1 + х)т sin X COS X tg X е* 1+т* + '"("-1)*2 + ... ~3 у.2п + 1 X X +Г1ЛП ± 3! 5! 1 ' (2п+1)! у2 у4 ¦у 2 Ti I * -L * + f lV* ± 2! 4! *" ' } (2п)! X + |*3 + 7= X5 + 57т *7 + ... о 15 о15 у -у* 2 уЗ у/1 I 4- ± -L ± L ± L 4-І (- 1! 2! 3! п! |*| < 1 при т > О |*| < 1 при /n < О 1*1 < OO 1*1 < OO м<1 1*1 < OO
§ IX.5. КРАТКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
723
Функ- ция Разложение в ряд Маклорена Область сходимости
In (I + X) sh х ch х 2 3 4 ^ ' п „3 «5 v2n +1 „і*.*. 4- + 3! 5! (2п+1)! '*• Y" 2 у4 у2п 1-І- 4- -f- -I- + 2! 4! (2 п)! •” -1 < х < 1 \х\ < OO 1*1 < OO
10. Векторная алгебра.
а) Скалярное произведение двух векторов а (ах, ау, а2) и b ([Ьх, Ьу, 6г).
ab = |а| |b| cos (а, Ь) = ахЪх + ауЪу + агЪг,
где ах, ау, аг, Ъх, Ъу, Ъг — прямоугольные декартовы координаты векторов а и Ь. Свойство переместительности: ab = Ьа.
б) Векторное произведение двух векторов а и b (обозначается [ab] или а х Ь)
[ab] = с,
где |с| = |а| |b| sin (а, Ь). Координаты вектора с равны: Cx = ауЪг -^X ~ ^X^z* Cz ~ &1рхт Поэтому
[ab] =
j к
ах ау aZ
ъх ъу ъг
Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах а и Ь. Вектор [ab] направлен перпендикулярно векторам а и b по правилу правого винта: векторы а, b и [ab] образуют правую тройку. При изменении порядка сомножителей векторное произведение изменяет свой знак:
[Ьа] = -[аЬ].
724
ДОПОЛНЕНИЯ
в) Двойное векторное произведение трех векторов [а[Ьс]] есть вектор, компланарный векторам Ъ и с:
[a[bc]] = b(ac) - c(ab).
г) Смешанное произведение трех векторов
Смешанное произведение векторов а, b и с равно объему V параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с, если эти векторы образуют правую тройку (если они образуют левую тройку, то abc = -У). Смешанное произведение трех векторов не изменяется при круговой перестановке всех сомножителей. При перестановке местами двух сомножителей смешанное произведение изменяет знак:
abc = cab = bca = - acb = - bac = - cba.
11. Теория поля.
а) Градиент скалярного поля а (г) — векторная функция координат точек поля, обозначаемая grad а и равная
где S — замкнутая поверхность, V — ограниченный ею объем, dS = n dS, п — единичный вектор внешней нормали к малому элементу поверхности площадью dS. Здесь и в дальнейшем при вычислении предела предполагается, что замкнутая поверхность интегрирования S стягивается к рассматриваемой точке поля. В прямоугольных декартовых координатах
б) Дивергенция векторного поля а (г) — скалярная функция координат точек поля, обозначаемая div а и равная
[ab]c = abc = Ъх Ьу Ъг
§ IX. 5. КРАТКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ
725
и
В прямоугольных декартовых координатах
a = ах і + dyj + аг к
