Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
1) d = (5,29 ± 0,01) мм — погрешность занижена больше, чем на 15—20% из-за нарушения правила 1.
2) d = (5,29 ± 0,013) мм — нарушено правило 2.
3) d = (5,2900 ± 0,0134) мм — не выполнено правило 1.
§ IX. З. ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ
713
12°. Правила расчета погрешностей при косвенных измерениях.
Пусть для косвенных измерений физической величины А используется известная функциональная зависимость А от ряда других независимых величин В, С, D, Е, F, ..., Q, заданная в форме Л = f (В, С, D, Е, F, ..., Q).
Среди переменных Bt С, ...,Q могут быть величины трех типов:
1) величины, определяемые путем прямых измерений (например величины Е, F, ... Q), которые после проведения этих измерений представляются в стандартной форме
E = (E) ± SE, F = (F) ± Sf,...,Q= (Q) ± Sq;
2) данные установки (например, величины В и С), т. е. характеристики экспериментальной установки, известные из предыдущих (тарировочных) измерений; эти величины также должны быть заданы в аналогичной форме1: В = (В) ± Sb, и С = (C) ± Sc,
3) табличные величины (например, величина D) — величины, которые в данном опыте не измеряются, а берутся из таблиц. Табличная величина может быть константой (например D = я). В этом случае ее нужно брать из таблиц с такой точностью, чтобы относительная погрешность D была значительно меньше относительных погрешностей всех остальных величин, входящих в функциональное выражение для искомой величины А. Если же D — заданная в табличной форме функция непосредственно измеряемой величины Т, то ее также нужно представить в стандартной форме
D = (D) ± Sd,
где (D) — табличное значение, соответствующее (Tf), Sd = _ dD
дТ
St , причем определяется с помощью таблицы.
1 В противном случае обычно считают, что заданное без указания погрешности значение измерено с точностью до половины единицы последнего десятичного разряда в этом значении (например, если В =11,3 мм, то Sb = 0,05 мм, а если B = Il мм, то Sb = 0,5 мм).
714
ДОПОЛНЕНИЯ
Наилучшим значением величины А при косвенном ее измерении будет
(A) = f ((B)t (С), (D), (E), (F), ..., (Q)), а стандартная погрешность А принимается равной
Sa " ](!в) s= + (?) sc + (?) sI.+ - + (?) «I •
Окончательный результат также представляется в стандартной форме:
A = (A)±Sa.
13°. Формулы расчета погрешностей при косвенных измерениях в простейших случаях приведены в табл. IX.ll.
Таблица IX.11
Вид функциональной зависимости Стандартная погрешность Относительная стандартная погрешность Sa/А
H+Si P2B^S2
A = B ±С I-B ± Cl
A=BC Jc^szb+B2Sl
Ib- Il Oi bo
A = BaCp... Qt — Ш+--^2
14°. Примеры обработки результатов косвенных измерений. Пример 2. Определить плотность р однородного тела на основании результатов прямых измерений его массы т = (25,4 ±
± 0,5) • 10_3 кг и объема V = (2,94 ± 0,05) • 10_6 м3.
Наилучшее значение плотности тела
25,4 • IO-3 о о о
<р> = 2 94". !5-6 кг/м = 8’639 ‘10 кг/м •
§ IX.3. ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ
715
Относительная стандартная погрешность плотности
f ‘ !ВНЕ!/=io'vs’87+2-89 - 2-6 ,<н-
Стандартная погрешность плотности
Sp = 8,639 • IO3 • 2,6 • IO-2 кг/м3 = 225 кг/м3.
Округляя значения Sp и <р>, запишем окончательный результат в виде
р = (8,64 ± 0,22) ¦ IO3 кг/м3.
Пример 3. Определить объем цилиндра V по результатам прямых измерений его диаметра d — (3,46 ± 0,04) см и высоты h = (4,87 ± 0,05) см.
Наилучшее значение объема цилиндра находится по формуле
Прежде чем проводить вычисления, необходимо выяснить, с какой точностью следует взять из таблицы значение я (располагаемое табличное значение я = 3,141593), чтобы погрешность этой постоянной не повлияла на точность определения объема цилиндра. Относительная стандартная погрешность объема
%-т+№>'+т-
- J( 5,34 + 1,05)-10-0 + (1)2 = J6i40-10-*+ (I)' .
Для того чтобы погрешность в значении Jt практически не влияла на величину SyfVt достаточно (см. п. 9°) выполнения неравенства: (Snfn) < 0,012, т. е. Sn < 0,038. Это условие выполняется, если ограничиться значением я =3,14, так как допускаемая нами относительная погрешность для к окажется равной
я. _ OsMttBM .10-4 п 3,14
716
ДОПОЛНЕНИЯ
Соответственно,
S
у = л/б,40 • IO"4 = 2,53 • IO-2,
(V) = і 3,14 ¦ (3,46 • IO"2)2 • 4,87 • IO"2 м3 = 45,79 • IO"6 м3.
Стандартная погрешность объема
Sv = 2,53 • IO"2 • 45,8 • IO'6 M3 = 1,16 ¦ IO-6 м3.
Окончательный результат:
V = (45,8 ± 1,2)- IO"6 м3.
§ IX.4. Приближенные вычисления без точного учета погрешностей1
1°. Производя обработку многочисленных измерений, часто не подсчитывают погрешности отдельных результатов и судят о погрешности приближенного значения величины (числа), указывая количество верных значащих цифр в этом числе.
Нули, стоящие в числе слева, значащими цифрами не считаются. Нули в середине или в конце числа (справа), обозначающие отсутствие в числе единиц соответствующих разрядов, — значащие цифры. Например, в числе 0,08040 первые два нуля — не значащие, а третий и четвертый — значащие.