Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
,о dw
пространства: IxFf = -jy = р. Интенсивность волны де Бройля
определяется величиной IxFl2.
2°. Из определения xF-функции следует условие нормировки вероятностей
OO +CO
JlTiw =JJ JlxFl^dxdydz = 1,
О —оо
где тройной интеграл по объему вычисляется по координатам jc, у и z от -оо до +оо, т. є. по всему бесконечному пространству. Условие нормировки указывает на то, что пребывание частицы где-либо в пространстве есть достоверное событие и его вероятность должна быть равна единице.
536
ГЛ. VI. 1. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
3°. Волновая функция Ч^лс, у, г, t) является основной характеристикой состояния микрообъектов (атомов, молекул, элементарных частиц). С ее помощью вычисляется среднее значение физической величины L, характеризующей объект, находящийся в состоянии, описываемом волновой функцией 4F,
4*00
(L) = JI IJ-IxPl 2dx dy dz ,
—CO
где (L) — среднее значение величины L.
4°. Временным уравнением Шредингера называется основное дифференциальное уравнение квантовой механики1 относительно волновой функции Т(х, у, z, ?). Оно определяет Ч'-функцию для микрочастиц, движущихся в силовом поле с потенциальной энергией U(x, у, z, t) (1.3.3.1°) со скоростью
V с, где с — скорость света в вакууме. Уравнение Шредингера имеет вид
BxV H2 ІЙ = ~~2т ЛЧ> + u^x' у' z’ ^ ’
где А — оператор Лапласа, т — масса частицы, Й = —, h —
постоянная Планка, і = — мнимая единица.
Уравнение Шредингера дополняется условиями, которые накладываются на Ч'-функцию:
а) функция 4F должна быть конечной, однозначной и непрерывной;
ЭЧ» ЭЧ* ЭЧ»
б) производные 0^ * 0^" И ДОЛЖНЫ быть непрерывны;
в) функция ^l2 должна быть интегрируема, т. е. интеграл
+ OO
11 |lxV^dxdydz должен быть конечным (см. п. 2°).
-OO
5°. В случае, когда функция U не зависит от времени (dU/dt = 0), решение временного уравнения Шредингера имеет вид Ч^дс, у, z, t) = \j/(jc, у, z) • ф(t), причем координатная часть
1 Cm. примечание 2 к пункту VI. 1.1.1°.
§ VI. 1.3. ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ
537
волновой функции \у(х, у, г) удовлетворяет стационарному уравнению Шредингера:
Ду+ |Р (Ж-LOV = О,
где W — энергия частицы. Остальные обозначения см. в п. 4°. Функции \j/, удовлетворяющие уравнению Шредингера при заданном виде U = U(x, у, z), называются собственными функциями. Они существуют лишь при определенных значениях W, называемых собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений W образует энергетический спектр частицы. В зависимости от вида функции U (х, у, г) энергетический спектр частицы может быть дискретным или непрерывным. Отыскание собственных значений и собственных функций составляет важнейшую задачу квантовой механики.
6°. При dZJ/dt = 0 временное уравнение Шредингера имеет решение
у, г, t) = у, z) ехр
Зависимость состояния частицы от времени описывается периодической функцией времени с циклической частотой CO =
W
= -j- , определяемой энергией W частицы. Это соответствует связи энергии частицы W с частотой волны де Бройля (VI. 1.1.8°).
Если частица находится в определенном энергетическом состоянии с энергией W = const, то вероятность dw обнаружить
ее в элементе объема dV не зависит от времени: dw = |\у|2 dV =
— dV. Такое состояние частицы называется стационарным состоянием. Атом, находящийся в стационарном состоянии, имеет постоянную энергию и не излучает электромагнитные волны (VI.2.1.7°).
§ VI. 1.3. Движение свободной частицы
1°. При свободном движении частицы (U = 0) ее энергия W совпадает с кинетической энергией. Если ось OX направлена вдоль векторат скорости частицы (v = const), то стационарное уравнение Шредингера (VI. 1.2.5°) имеет следующее решение:
V=A expf JiJimWхJ + В ехр(-^л/2mWям ,
№)¦
538
ГЛ. VI. 1. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
где т — масса частицы, h = , h — постоянная Планка, А и
В — некоторые постоянные. Временное уравнение Шредингера (VI. 1.2.4°) в этом случае имеет решение
+
ч „ г (w j2mW Х\
ТО*;, у, z, t) =A expl -il J^t- —J1—х I
г (W j2mW Yl + Bexp|-«(jt + —j;—*JJ,
которое представляет собой суперпозицию двух плоских монома
хроматических волн (IV.4.1.6°) равной частоты CO = ~fi ¦> PaC-
пространяющихся одна в положительном направлении оси OX с амплитудой А, другая — в противоположном направлении с амплитудой В.
2°. Свободная частица в квантовой механике описывается плоской монохроматической волной де Бройля с волновым числом k (VI. 1.1.4°):
k = jj2mW .
Плотность вероятности обнаружить частицу во всех точках пространства одинакова. Для волны, распространяющейся в положительном направлении оси ОХ,
Ivl2 = W* = |А|2.
§ VI. 1.4. Частица в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины
1°. Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия J U частицы монотонно возрастает по
I I мере удаления от точки, где эта энер-
гия минимальна. На рис. VI. 1.1 изображена одномерная потенциальная яма бесконечной глубины с «плоским дном»: