Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
§ IV.2.3. ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
393
§ IV.2.3. Вынужденные электрические колебания
1°. Для осуществления вынужденных колебаний в электрическом колебательном контуре (IV.1.3.1°) в него нужно включить источник электрической энергии, ЭДС & которого изменяется с течением времени (рис. IV.2.5). В электротехнике источник электрической энергии, характеризующийся ЭДС и внутренним электрическим сопротивлением, называется источником ЭДС (источником напряжения). По закону Ома для участка цепи 1-jR-L-2 —q (111.8.2.3°) квазистационарного тока С =
(IV.1.3.10), возникающего в контуре ^ при вынужденных колебаниях,
IR = фі - <р2 - + 8(f)- Рис. IV.2.5
Здесь ф2 - Фі = q/C — разность потенциалов обкладок конденсатора, q — его заряд, а внутреннее электрическое сопротивление источника ЭДС считается пренебрежимо малым по сравнению с R (такой источник ЭДС называется идеальным). Из закона сохранения электрического заряда (111.1.1.3°) следует, что I = dq/dt. Поэтому дифференциальное уравнение вынужденных электрических колебаний в контуре можно представить в форме, аналогичной уравнению вынужденных механических колебаний (IV. 2.2.1°):
ff + 2^t + “°2? -1ад-
Здесь р = R/ZL— коэффициент затухания свободных колебаний в контуре, a (Op = I/ JLC — циклическая частота свободных незатухающих колебаний (т. е. при R = 0).
2°. Если вынуждающая ЭДС ft(t) изменяется по гармоническому закону $(t) ¦= <Sq cos Qt, то при установившихся вынужденных колебаниях (IV.2.2.1°) заряд конденсатора колеблется гармонически с той же циклической частотой Q:
q = g0 cos (Qt + Фо).
I >0
1
2
R
т
jOl
394 ГЛ. IV.2. ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Амплитуда д0 и начальная фаза ф0 находятся по формулам
Qo
и
Q.JR2 + (QL -1/(QC))2 lJ((H$ - Q2)2 + 4P2Q2
2 PQ
Фо==
R.___
аь~Іс
Q2
При Q = O фаза ф0 = 0 и ^0(O) = — заряд конденсатора
при постоянной разности потенциалов между обкладками, равной 8q. При Q -> °о амплитуда д0 0, а ф0 -» ~п. График зависимости фо от Q показан на рис. IV.2.4, а график зависимости qQ от Q — на рис. IV.2.3, где А = q0, a A0 = <7о(0) = ^0^-3°. Сила тока при установившихся вынужденных колебаниях в контуре
L = ^= -Qo^ sin + Фо)= 1O cos - Ф)‘
Амплитуда тока Iq = QqQ и начальная фаза -ф = (ф0 + я/2) находятся по формулам
'0 =
ёп
tg Ф =
QL-IZ(QC)
V^2 + [QL-1/(QC)]2’ Е
Графики зависимости Iq от Q при различных значениях R, называемые резонансными кривыми колебательного контура, показаны на рис. IV.2.6, а графики зависимости ф от Q — на рис. IV.2.7. Резонансная циклическая частота Qp, соответ-
Рис. IV.2.6
Рис. IV.2.7
§ IV.2.3. ВЫНУЖДЕННЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
395
ствующая максимуму амплитуды тока в контуре при вынужденных колебаниях, не зависит от jR:
Qp = (O0 =
1
Jlc'
Амплитуда силы тока при резонансе Io(Qp) = %q/R, а сдвиг фаз между током и ЭДС ф(?2р) = 0. Если Q < 0)0, то ф < 0, т. е. ток опережает ЭДС по фазе и тем сильнее, чем меньше Q (ф = -л/2 при Q = 0). Если Q > W0, то ф > 0, т. е. ток отстает по фазе от ЭДС и тем сильнее, чем больше Q (ф —» л/2 при Q -> °о).
4°. Разность потенциалов клемм идеального источника гармонической ЭДС (рис. IV.2.5) равна его ЭДС:
и = Ш>о cos Qt.
Падение потенциала на отдельных участках показанной на рис. IV.2.5 цепи переменного синусоидального тока I = = I0 cos(Qt - ф) — конденсаторе емкостью С, сопротивлении R и катушке индуктивности L — равны
ис = Ф2 - Фі = с = uC cos ~ ф ” 1)»
Ur= IR = Uji cos (Qf - ф),
_ dl _т . _ TZ.
иь = L-^-t = Ul cos (Qf - ф + 2).
Колебания ил происходят в одной фазе с колебаниями тока
I в цепи; Ul опережает ток по фазе на л/2, a Uq отстает от тока по фазе на л/2, причем
uC + иЛ + uL = и = &Q COS Qf.
5°. Амплитудные значения uq, ul и Uji соответственно равны
Uq = XqI0, Ul = XlIq И UR = RIq,
где jcc = I/QC — емкостное сопротивление цепи, xL = QL — индуктивное сопротивление цепи. Величина х = xL - Xq =
= QL - называется реактивным сопротивлением цепи,
R называется активным сопротивлением цепи, а г =
= Jr2 + [QL - !/(QC)]2 — ее полным сопротивлением.
396 ГЛ. IV.2. ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Формулы п. 3° для амплитуды синусоидального тока в цепи
g0
и его начальной фазы можно переписать в виде J0 = — и tg ф =
X R . X
= P , причем COS ф = — и Sin ф = - .
При резонансе Q=I/ JbC и Xii= Xq, так что реактивное сопротивление цепи обращается в нуль, а полное сопротивление цепи достигает минимального значения, равного ее активному сопротивлению jR:
x(Qp) = О и z(Qp) = Zmm = R.
/----
В этом случае TJr = и Uc = Ul = л/L/C.
6°. Действующим, или эффективным, значением периодического тока (соответственно ЭДС, напряжения и т. п.) называется среднее квадратичное значение тока за период T его изменения:
- T -,1/2
І JI2 dt
'« =
T' о
Для синусоидального тока и синусоидальной ЭДС
T = — = —
д л “ д 72'
Элементарная работа, совершаемая синусоидальным током за малое время dt в цепи, изображенной на рис. IV.2.5,
