Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
Два гармонических колебания с различными циклическими частотами Cfl1 и со2 можно приближенно считать когерентными лишь в течение промежутка времени At, за который разность фаз этих колебаний изменяется незначительно: |ш2 -
- CO1IAf 2л, или At <SC тког, где тког = 2л/|са2 - Cfl1I — время когерентности рассматриваемых колебаний.
5°. Негармонические колебания, получающиеся в результате наложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с близкими частотами (|ш2 - Cfl1I <SC Cfl1), называются биениями. В этом случае за начало отсчета времени t целесообразно принять тот момент, когда фазы обоих складываемых колебаний S1 и S2 совпадают и равны ф0. Тогда S1 = A1 sin (Cfl1* + + Фо) и s2 = A2 sin (са2* + ф0) = A2 sin [CAit + Фо + Ф(*)], где ф(і) = = (ш2 - CO1)*. Результирующие колебания S = S1 + S2 удовлетворяют соотношению
s = A(f) sin [Cfl1* + Фо + y(f)],
где
[A(f)]2 = А\ + А\ + 2A1A2 cos ф(і)
и
A2 віпф(і)
tg У(0 +A2СО!Зф(І) ‘
378
ГЛ. IV. 1. СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
В частности, если A1 =А% =Ag, то
CD2-W1 CD2 — OD1
A{t) = 2А0 COS—2—* и v(*) = —2—1 ’
так что
CD2-CDi /CD2+ CD1 N
s = 2Aq cos—2—t stn( —2—t + Фо] •
Величина |A(i)|, характеризующая размах колебаний при биениях, изменяется в пределах от IA1 -A2I до A1 + A2 с циклической частотой Q = |cd2 - CD1I, называемой циклической частотой биений. Поскольку частота биений во много раз меньше частоты колебаний (?2 <ЗС CD1), переменную величину [А(і)| условно называют амплитудой биений. Период биений Tq и частота биений Vg равны
„ _ 2тс _ 2п _ 1
6 Q ICD2-CD1I IlZT2-IZT1I
и
v6 = W = lV2 - Vil,
1 б
где Ti, V1 и Т2, V2 — периоды и частоты складываемых колебаний. Характер зависимости s от времени t при биениях показан на рис. IV.1.9 (для случая A1 =A2 =Aq).
Рис. IV. 1.9
§ IV.1.4. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
379
6°. В результате сложения гармонических колебаний, совпадающих по направлению и имеющих кратные циклические частоты ш, 2(й, Зш и т. д., получаются периодические негармонические колебания с периодом T = 2л/ш. В свою очередь, любое сложное периодическое колебание s = f(t) можно представить в виде суммы гармонических колебаний с циклическими частотами, кратными основной циклической частоте ш = 2Ti/T (Г — период колебаний),
s = f(t) =
Cl °° °°
= + X (flncos + Ъпsin nat) = + X Апаіп(гсш? + срп),
& Л
п = 1 п = 1
где
Г/2
2 г
ап = j, J f(t) cos mat dt (п = 0,1, 2, ...),
-Г/2
Г/2
2 г
bn = ji ] f(t) sin n(at dt (n = I, 2, ...).
-Г/2
Такое представление периодической функции f(t) называется разложением этой функции в ряд Фурье, или гармоническим анализом сложного периодического колебания. Члены ряда Фурье, соответствующие гармоническим колебаниям с циклическими частотами ш, 2ш, Зш и т. д., называются первой, или основной, второй, третьей и т. д. гармониками сложного периодического колебания s = f(t). Совокупность этих гармоник образует спектр колебания s = f(t). Состав спектра зависит от вида периодической функции f(t). В простейших случаях спектр может состоять из небольшого числа гармоник.
Часто под спектром колебания понимают спектр его частот, т. е. совокупность частот простых гармонических колебаний, в результате сложения которых может быть получено Рассматриваемое сложное колебание. Периодические колебания имеют дискретные (линейчатые) спектры частот.
7°. Непериодические колебания, как правило, имеют непрерывный (сплошной) спектр частот, т. е. их можно представить как результат наложения множества гармонических колебаний, частоты которых принимают всевозмож-
380
ГЛ. IV. 1. СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
ные значения в некотором интервале (в общем случае от 0 до °°). Гармонический анализ таких колебаний состоит в представлении их в виде интеграла Фурье
OO
s = fit) = J [а(ю) cos Ш + &(а>) sin cat] do, о
где
OO OO
а(ю) =^J № cos d\, &((о) =^J Ж sin d\.
_оо —оо
Некоторые непериодические колебания, называемые почти периодическими (квазипериодическими), имеют линейчатый спектр частот. Однако входящие в него циклические частоты несоизмеримы между собой, т. е. их отношения выражаются иррациональными числами.
8°. Модуляцией колебаний называется изменение по определенному закону какого-либо из параметров периодических колебаний (например, амплитуды или частоты), осуществляемое за время, значительно большее, чем период колебаний.
Например, при амплитудной модуляции гармонических колебаний S= Aq sin (copt + Фо) модулированные колебания имеют вид
s = A0[l + b(t)] sin (со0* + Фо)>
где |&(0| < 1.
Если амплитудная модуляция осуществляется по гармоническому закону b(t) = &о COS Cdt, где Ь0 ~ const И (0 « COq, ТО
S = A0(l + bgCOSCdt) sin (CdQt + Фо).
Это модулированное колебание имеет линейчатый спектр частот, так как может быть представлено в виде суммы трех гармонических колебаний с циклическими частотами <»q, (Oq-O) И (Oq + CO И амплитудами, соответственно равными Aq, Aq&0/2 и А0Ь0/2:
