Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
ской частоте колебаний ш. Соответственно проекция вектора А на вертикальную ось OY совершает гармонические колебания по закону
Графическое изображение гармонических колебаний по-
тодом векторных диаграмм. Им широко пользуются, например, при сложении одинаково направленных гармонических колебаний (IV.1.4.2°).
7°. Согласно формуле Эйлера для комплексных чисел,
Y
s
О
Рис. IV. 1.2
ф = COf+Ф0
А
нат О на плоскости проводят вектор А (рис. IV.1.2), модуль которого равен амплитуде А рассматриваемых колебаний и составляет с осью координат OX угол ф = cot + + ф0, равный фазе колебаний в данный момент времени t. С течением времени угол ф увеличивается так, что вектор А равномерно вращается вокруг точки О с угловой скоростью, равной цикличе-
Ay = s =A sin (cot + фо).
средством вращающегося вектора амплитуды называется мёл
eI<p = cos ф + і sin ф,
где і = 4-Х — мнимая единица. Поэтому гармонические колебания
§ IV.1.2. МЕХАНИЧЕСКИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
s=A sin (cot + Фо) = A cos (ші + фі), где фі = фо - я/2, можно записать в экспоненциальной форме
z тt л i(tot + <Pi) s = Ae = Ae ,
?<р,
где А = Ae — комплексная амплитуда. Физический смысл имеет только действительная часть комплексной функции s, обозначаемая Re s:
Re s =s=A cos ((Of + фі) = A sin (tot + ф0), где Фо = Фі + я/2.
§ IV.1.2. Механические гармонические колебания
1°. Если материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат OX около положения равновесия, принятого за начало координат, то зависимость координаты х точки от времени f имеет вид ((IV.1.1.30), где s = лс)
х=А sin (cot + Фо).
Проекция скорости V и ускорения а точки на ось OX равны vx = uO cos + Фо) и ах = ~а0 sin + Фо)»
О
где D0 = Aco — амплитуда скорости, ад = Ag) = и0(0 — амплитуда ускорения. Сила F, действующая на материальную точку, равна
F = та и Fx = —тсо2*,
где т — масса материальной точки. Следовательно, сила F пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону:
F = —пт2х\,
где і — орт оси ОХ.
Такая зависимость силы от смещения характерна для упругой силы (1.3.3.6°). Поэтому силы иной физической природы, Удовлетворяющие тому же виду зависимости, называются ква-3Hynpyгими силами.
368
ГЛ. IV. 1. СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
2°. Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна
nil)2 TtlVn п л
Wk = -у = -g-COS (CDf + <p0) = —2—COS (CDt + фо),
или
2 2 mo A
Wk = —-—[I +cos(2ooi + 2ф0)].
Кинетическая энергия материальной точки периодически
9 9
изменяется от О до mar А /2, совершая гармонические колебания с циклической частотой 2(й и амплитудой тш2А2/4 около среднего значения, равного та?А2/4.
Потенциальная энергия материальной точки, гармонически колеблющейся под действием квазиупругой силы, равна
Х 2 2 2 2 ттт Гп j таз х та> А . г, , .
Wn=~]Fxdx = —о— = —9—sln (“* + ФоЬ
или
2.2
Wu = [l-cos(2cDt + 2<p0)] =
2.2 т ш А
[I + cos(2ooi + 2ф0 + л)].
Потенциальная энергия материальной точки периодически изменяется от 0 до тш2А2/2, совершая гармонические колебания с циклической частотой 2ш и амплитудой mto2A2/4 около
9 9
среднего значения, равного mar А /4. Колебания потенциальной и кинетической энергии совершаются со сдвигом по фазе на л, так что полная механическая энергия материальной точки не изменяется при колебаниях:
§ IV.1.2. МЕХАНИЧЕСКИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
WWW
ГГК’ rrIV гг
Рис. IV. 1.3
Графики зависимости WK, Wn и W от времени t для случая Фо = 0 показаны на рис. IV.1.3.
3°. Пример 1. Линейный гармонический осциллятор — материальная точка массы т, совершающая прямолинейные гармонические колебания под действием упругой силы Fynp = -гасі (1.3.3.6°). Примером такой системы может служить пружинный маятник — груз массы т, подвешенный на абсолютно упругой пружине (к: — коэффициент, характеризующий упругие свойства пружины).
Уравнение движения имеет вид
,2
а х
т-
dt
d2 х к = —кх, или —- + —X = О.
at2 т
Из IV.1.1.5° следует, что осциллятор (пружинный маятник) совершает гармонические колебания по закону х = A sin (cat + + фо) с циклической частотой ш и периодом Т, равными
CD
4к7т и T = 2njm/к.
Потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора
у п 2
4°. Пример 2. Физический маятник — твердое тело, имеющее возможность качаться под действием его силы тяжести mg вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей че-
37U
ГЛ. IV. 1. СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 1
рез центр тяжести тела (рис. IV. 1.4) и называемой осью качания маятника. Центр тяжести маятника совпадает с его центром масс С (1.7.3.2°). Точка О пересечения оси качания маятника с вертикальной плоскостью, проходящей через центр тяжести маятника и перпендикулярной к оси качания, называется точкой подвеса маятника.
В отсутствие сил трения в подвесе уравнение движения маятника имеет вид (1.4.3.4°)
