Физика для школьников старших классов и поступающих - Яворский Б.М.
ISBN 5-7107-9384-1
Скачать (прямая ссылка):
E
У
(в СИ).
В
2
я* = 0. Ev =Г а. E', - 0 (в СИ).
-V /с
VB2
E B' = EB и H D' = HD.
Точно так же инвариантны следующие выражения:
E'2-В'2 = E2-B2 к D'2-H'z = D2-H2 (в СГС).
ОТДЕЛ IV
Колебания и волны
Глава IV.1
СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ § IV. 1.1. Гармонические колебания
1°. Колебаниями называются процессы (движения или изменения состояния), в той или иной степени повторяющиеся во времени. В зависимости от физической природы колебательного процесса и «механизма» его возбуждения различают: механические колебания (колебания маятников, струн, частей машин и механизмов, зданий, мостов и других сооружений, давления воздуха при распространении в нем звука, качка корабля, волнение моря и т. п.); электромагнитные (колебания переменного электрического тока в цепи, колебания векторов E и В электрической напряженности и магнитной индукции переменного электромагнитного поля и т. д.); электромеханические (колебания мембраны телефона, диффузора электродинамического громкоговорителя ИТ. п.) и др.
Система, совершающая колебания, называется колебательной системой. Свободными колебаниями (собственными колебаниями) называются колебания, которые происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния ее устойчивого равновесия. Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия (например, колебания силы тока в электрической цепи, вызываемые переменной ЭДС; колебания маятника, вызываемые переменной внешней силой).
2°. Колебания называются периодическими, если значения всех физических величин, характеризующих колебательную
364
ГЛ. IV. 1. СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЙ
систему и изменяющихся при ее колебаниях, повторяются через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени Т, удовлетворяющий этому условию, называется периодом колебаний. За период колебаний T система совершает одно полное колебание. Частотой периодических колебаний называется величина v = 1/Г, равная числу полных колебаний, совершающихся за единицу времени. Циклической, или круговой, частотой периодических колебаний называется величина ш = 2п\> = 271/Г, равная числу полных колебаний, совершающихся за 2л единиц времени. В электротехнике CD = 27W называют угловой частотой.
3°. При периодических колебаниях зависимость колеблющейся величины s от времени t удовлетворяет условию s(t + Г) = s(t).
Периодические колебания величины s(t) называются гармоническими колебаниями, если
s(f) = A sin ((Dt + Фо) или s(i) = A cos (cof + фі),
где ш = 2ttv = (2ti/T) = const — циклическая, или круговая, частота гармонических колебаний, А = sMaKC = const >0 — максимальное значение колеблющейся величины s, называемое амплитудой колебаний, Фо и Фі = Фо - Tt/2 — постоянные величины. Значение s в произвольный момент времени t определяется значением фазы колебаний Ф(?) = cot + ф0 (соответственно Фі(і) = COt + ф]). Величины фо и Фх представляют собой начальные фазы колебаний, т. е. значения Ф(і) и Фі(і) в момент (і = = 0) начала отсчета времени: фд = Ф(0) и фх = Ф1(0).
4°. Первая и вторая производные по времени от гармонически колеблющейся величины s(t) также совершают гармонические колебания той же циклической частоты:
ds п
= Aco cos (cot + ф0) = Aco sin (cot + Фо + )»
Cl S р р
--2 = —^co s^n (ш* + Фо)= ^co s^n + Фо + я)>
dt
PP
причем амплитуды ds/dt и d s/dt соответственно равны Aco и Aco2. Начальная фаза ds/dt равна (ф0 + 71/2), т* е. разность фай
§ IV.1.1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
365
колебаний ds/dt и s постоянна и равна л/2 (величина ds/dt
о о
опережает s по фазе на л/2). Начальная фаза d s/dt равна
р О
(Фо + 7O* т- е. разность фаз колебаний d s/dt и s постоянна и
р р
равна л (величина d s/dt опережает s по фазе на л). Графики зависимости от времени t величин s, ds/dt и dzs/dtz при гармонических колебаниях для случая Фо = 0 показаны на рис. IV.1.1.
ds d s ”dt'’dt2
Рис. IV. 1.1
5°. Из второго соотношения п. 4° видно, что гармонически колеблющаяся величина s удовлетворяет дифференциальному уравнению
J2
d s о —5 + ш s = 0. dt2
Общее решение этого уравнения имеет вид
s =Ai sin wf + A2 cos (Ot,
TfleA1 и Aq — произвольные постоянные интегрирования. Значения Ai и A2 можно найти из начальных условий, т. е. зная значения s и ds/dt в начальный момент времени (? = 0):
А1=^(І)„0 И -40).
366
ГЛ. IV. 1. СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИ^
Общее решение можно привести к стандартному виду гар монических колебаний (п. 3°)
s=A sin ((Di + Фо),
Таким образом, величина s совершает гармонические колебания в том и только в том случае, если она удовлетворяет написанному выше дифференциальному уравнению, называемому поэтому дифференциальным уравнением гармонических колебаний.
6°. Гармонические колебания можно изобразить графически в виде вектора на плоскости. Для этого из начала коорди-
