Справочное руководство по физике для поступающих в вузы и для самообразования - Яворский Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
Если координатная ось Ox совпадает с линией действия силы упругости, то
" 2 *
причем /7=0 при AZ=O, или при х=0. Нуль отсчета потенциальной энергии соответствует такому состоянию системы, при котором силы упругого взаимодействия между телами (или частями) системы равны нулю (см. также 11.4.1.4°).
5.4. Закон сохранения механической энергии
Г. Закон сохранения механической энергии: механическая энергия консервативной системы сохраняется постоянной в процессе движения системы:
? = ./(-4-/7 = const.
Этот закон справедлив как для замкнутых, так и для незамкнутых консервативных систем (1.5.2.6°).
Пример 1. Центральный абсолютно упругий удар (упругое столкновение) двух шаров. Ударом называется явление изменения скоростей тел за очень малый промежуток времени их столкновения. Удар называется абсолютно упругим, если силы взаимодействия соударяющихся тел потенциальны и в результате взаимодействия механическая энергия системы не изменяется. Удар называется
5.4. закон сохранения механической энергии 89
Хотя система шаров не " х Ґ—Щ
является замкнутой (на каж- б ( j3 (^~^
дый шар действует сила тя- V___у
жести и еще какая-то сила,
l
уравновешивающая силу тя- ? 00 жести), к . системе можно Рис. 1.5.9
применить закон сохранения
проекции импульса на координатную ось Ox (1.2.6.3е): mxvlx + m2v2X = In1U1x + т3иіх.
Система шаров консервативна, и поэтому к ней применим закон сохранения механической энергии в виде
»UUl і tn2v2 Tn1Ui . т2и\
так как потенциальная энергия шаров в поле тяготения Земли при движении по горизонтали не изменяется.
Заданные скорости V1 и V2 направлены вдоль координатной оси Ох, а искомые скорости U1 и U2 в данном случае могут быть только горизонтальными. Поэтому V1x=V1,
Vtx=V2, Mi = Wi*. W2 = U2J.
На основании всех записанных равенств имеем и ^Jm1-Tn2)V1^m2V2 ^ у ^ (W2-W1) D2-^m1D1
Если, в частности, соударяющиеся шары имеют одинаковые массы (тг=т2), то
В этом случае шары в результате удара «обмениваются» скоростями.
Если второй шар до удара покоился (v2=0), то Tn1-Tn2 Sm1
Hx = V1-T— и U2x = V
ItI1-^-Tn2 2Х 1 TtI1-^-Tn2
центральным, если скорости тел до удара направлены вдоль линии, соединяющей центры масс тел.
Два шара с массами тг и т2 движутся поступательно вдоль горизонтальной прямой со скоростями v1 и v2 (рис. 1.5.9, а). Требуется on- т
ределить скорости шаров U1 а ,—-v у JJji ^
и U2 после абсолютно упру- т ( —4—С Л >г гого удара (рис. 1.5.9, б). L_ ^ '
90 отдел i. гл. в. габота и механическая энергия
P
k
При mi>m2 первый шар после удара будет продолжать двигаться вправо, но с меньшей скоростью. При Iu1^m2 первый шар после удара будет двигаться влево. Второй шар в обоих случаях после удара будет двигаться вправо. Если при v2=O будет выполняться условие m,i<^tn2, то
UixTH-Vi и и2Х ж 0.
Направление скорости легкого шара после центрального абсолютно упругого удара о массивный неподвижный шар будет изменяться на противоположное.
Пример 2. Абсолютно твердое тело массы т под действием силы тяжести P перемещается из точки / в точку 2 вблизи поверхности Земли (рис. 1.5.10).
1С . ~ ' ' -
ности Земли, а точка 2 — на высоте h2.
Определить скорость v2 тела, если его начальная скорость равна нулю (vi=0).
В данном случае можно считать систему состоящей всего из одного тела массой т, поскольку при его движении состояние ///лчу//Ау>^чу>/х Земли практически не изменяется. Сис-ТшШШмШ тема незамкнута, ибо имеется неуравнове-Рис. І.5.Ю шенная внешняя сила Р, но консервативна, так как сила тяжести P является потенциальной силой. Применим закон сохранения механический энергии. Работа Лтяж силы тяжести равна изменению кинетической энергии тела:
<4тяж = AK = K2- Ki-
Кроме того, эта работа равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с обратным знаком:
АТЯК = -АП = -(ПІ-П1).
Поэтому
К2-К\ = -(ПІ-П1), или K2 + Я2 = Ki + Пі.
В инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, и при выборе нуля отсчета потенциальной энергии на поверхности Земли имеем
mvt , , mv\ . . vi , , v\ , ,
-2- + mgh2 = — + tnghi, или -j + g^ = -f + ght. Поскольку U1=O, то
V2 = ^g(H1-H2)
5.4. закон сохранения механической энергии 91
(второй корень квадратного уравнения в данном случае физического смысла не имеет). Вектор V2 направлен по вертикали вниз (ср. 1.1.7.4°).
2°. Если система взаимодействующих тел замкнута, но неконсервативна, то ее механическая энергия не сохраняется. Изменение механической энергии такой системы равно работе внутренних непотенциальных сил:
Д? = Л„нутР.
Примером такой системы может служить система, в которой наряду с потенциальными силами действуют силы трения. Силы трения при движении системы уменьшают ее кинетическую энергию. В результате этого механическая энергия замкнутой неконсервативной системы всегда уменьшается, переходя в энергию немеханических форм движения.
Убыль механической энергии неконсервативной системы приводит к увеличению внутренней энергии U системы (11.4.1.2°). Для замкнутой неконсервативной системы выполняется закон сохранения полной энергии <?(П.4.1.Г), равной сумме механической E и внутренней U энергий системы:
