Справочное руководство по физике для поступающих в вузы и для самообразования - Яворский Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
1.4. ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 425
=/по)оД;2/2, называется линейным гармоническим осциллятот ром *).
2°. В классической механике Ньютона линейный гармонический осциллятор может иметь любое значение потенциальной энергии П(х), не превышающее значения Я (Л)= =/710)57^/2, в точках В и С (B' и С), где потенциальная энергия равна полной энергии. Скорость гармонических колебаний (IV. 1.2. Г) осциллятора также может принимать любые значения, ограниченные запасом полной энергии E осциллятора. Никаких ограничений на характер возможных изменений полной энергии E в классической меха-
a f' ІҐШ
tu
іК J\\
"і "г Рис. VI.1.6
О A2 A1 ~л
J/7 і
0 Lx
Рис. VI.1.7
нике не накладывается. В квантовой механике изменение полной энергии осциллятора происходит иначе (п. 6°).
3°. Одномерное движение частицы вдоль оси Ox (рис. VI. 1.7) может быть ограничено следующим образом. В области O^x^L частица движется свободно. За пределы области OL она выйти не может. На границах области OL, в точках х=0 и x=L, потенциальная энергия П частицы становится равной бесконечности. Такое движение частицы называется движением в прямоугольной одномерной потенциальной («ловушке») яме. Иллюстрацией такого движения является следующая модель: частица движется по дну плоского ящика с идеально отражающими бесконечно высокими стенками (см. также потенциальный барьер, VI.4.7.20).
4°. Движение электрона внутри потенциальной ямы сопровождается распространением дебройлевской волны (VI. 1.1.3е). На стенках потенциальной ямы происходит отражение волны, и в результате наложения падающей и
*) От латинского слова «oscillare» — колебаться.
426 отдел VI. гл. 1. элементы квантовой механики
отраженной волн образуются стоячие волны де Бройля (VI .3.10.1°). Условие образования стоячих волн на длине L потенциальной ямы аналогично условию образования стоячих волн в струне, закрепленной обоими концами (VI.3.10.7°). На длине L должно укладываться целое число полуволн:
пЦ = 1 (/1=1.2,3,...),
где п — целое число,
Длины дебройлевских волн электрона, движущегося в потенциальной яме, могут принимать лишь определенные значения, обратно пропорциональные ряду целых чисел п (дискретные *) значения длин волн). Скорость Vn электрона в потенциальной яме по формуле де Бройля (VI. 1.1.3°)
Vn = —І— = 9^7-. Скорость Vn принимает дискретные значе-
ния, прямо пропорциональные целым числам п.
5 . Импульс pn=mvn электрона в потенциальной яме имеет дискретные значения:
reft
Pn = InVn= Ж .
Энергия En электрона, «запертого» внутри потенциальной ямы прямоугольной формы и бесконечной глубины,
P _ mvn _n2h2
Энергия En может иметь только дискретные значения, прямо пропорциональные квадратам целых чисел п. Физические величины (например, энергия, импульс и др.), которые могут принимать лишь дискретные (квантованные) значения, называются квантованными физическими величинами (квантование физических величин).
6°. Для линейного гармонического осциллятора потенциальной ямой является область оси Ох, ограниченная кривой потенциальной энергии П (x)=kx2l2, и запасом полной энергии E осциллятора. Для двух значений Ex и E2 полной энергии осциллятор может колебаться с ампли-
*) От латинского «discretus» — прерывистый, состоящий из отдельных значений.
1.4. линейный гармонический осциллятор 427
тудами смещения, соответственно равными At и A2, т. е. он «заперт» на участках ВС и В'С' прямых, параллельных оси Ox (рис. VI. 1.6).
Волновые свойства линейного гармонического осциллятора приводят к тому, что возможные квантованные значения его полной энергии (энергетические уровни осциллятора) имеют вид
Еп=(п+ 1/2) ZiV0 = (п + 1/2) ACO0,
где п=0, 1, 2, 3, ...— целые числа, h — постоянная Планка, V0 — собственная частота колебаний осциллятора (VI. 1.3.3°), (D0=2nv0 —цикли- .
ческая собственная частота, ¦
Л=/г/2л. На рис. VI. 1.8 пред- \ " г
ставлены энергетические уров- п*2 —+--+-h'^o
ни линейного гармонического д=/_jL__/ L^bV9
осциллятора, прямо пропор- . \ /_ f
циональные ряду полуцелых " VL/ чгъЩ
чисел. Энергетические уровни 0 as
расположены на одинаковых Рис. VI. 1.8
«энергетических расстояниях»
друг от друга. Наименьшее значение E0 энергии линейного гармонического осциллятора (при n=0) E0 = -ї=г- = -<р
называется нулевой энергией. Ее нельзя уменьшить никакими внешними воздействиями. В нуль E0 не обращается ни при каких сверхнизких температурах, в том числе и при абсолютном нуле температуры (T=O К=—273,15 °С) (11.4.9.4°). Существование нулевой энергии у частицы является чисто квантовым эффектом. (О природе нулевой энергии см. VI. 1.7.3°.)
7°. Квантование физических величин в определенных условиях является принципиально новым, важнейшим результатом квантовой механики. В классической механике и во всей классической физике физические величины, характеризующие любые физические явления, изменяются, как правило *), непрерывно. Идея Планка о том, что энергия атома — излучателя может принимать лишь определенные значения (V.3.2.3°), получила в квантовой механике последовательное развитие.
