Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
энергий, лежащих по разные стороны от сингулярности Величина RlA будет
зависеть от энергии, но эта зависимость будет более слабой, чем
энергетическая зависимость функции КАЕ).
Факт существования МТ-радиусов RA был впервые отмечен Андерсеном [343]
при прямом пересчете эмпирически определенных КАЕ) на зависимость от
величины МТ-раднуса. Наш анализ, приведший к (4.89), проливает некоторый
свет на причину возникновения таких точек "энергетической независимости"
и позволяет делать заключения о том, когда существуют эти точки.
Эти рассуждения фактически относятся к Г(tm)в, но их легко
тККРЗ
перенести и па i;
По своему' смыслу радиусы Андерсена RlA связаны с размером области Q.v, в
которой равны нормировочные интегралы для модельной п истинной волновых
функций в выражении
(4.48) для заряда дырки обеднения. Действительно, если RlA - такой
радиус, что I-я компонента фазово-сдвигового псевдопотенциала не зависит
от энергии, то величина заряда обеднения, характерного для него по
(4.52), должна быть близка к нулю, т. е. RlA - радиус области QM.
Вот так, несколько неожиданно, мы вновь сталкиваемся с понятиями, которые
отражают одну физическую сущность, но в разных модификациях теории носят
различные названия.
Заканчивая обсуждение зависимости Tt от координаты, отметим, что на
графике зависимости тр от г координаты сингулярности Kt(r) будут
проявляться как точки перегиба функции тр(г). Тем самым значения г, в
которых tgrp(r) = °o) оказываются разделены между собой теми значениями
г, в которых h(r) = 0. Эти два семейства точек не могут совпадать друг с
другом, это означает, что не могут совпадать энергии ?] и ег, что мы
получили из других соображений в (2.83).
Оптимизация логарифмических производных на "энергетическую независимость"
с помощью (4.89) подбором RA будет затрагивать, прежде всего, соотношение
между различными SL, 12*
180
ГЛ. 4. ТЕОРИЯ ФОРМФАКТОРОВ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛОВ
так как они умножаются на Ти Поэтому будет изменяться q-за-висимость ФС-
формфактора. Кроме того, будет меняться q-за-висимость каждой из функций
SL, так как изменение R будет сказываться на аргументе (]k + q|i?)
сферических функций Бесселя. Мы опять убеждаемся, что энергетическая
зависимость формфактора связана с его q-зависимостью.
7. Длинноволновый предел формфактора. Прямое отношение к оптимизации
ФС-псевдопотенциала, которой мы сейчас занимаемся, имеет вопрос о
длинноволновом пределе его формфактора.
Рассмотрим ККРЗ-формфактор (4.55). Устремим q 0, тогда получим, что его
длинноволновый предел равен /" (4.70). Используем выражения (4.55),
(2.106) и предположим, что фазовые сдвиги достаточно малы. Тогда
7f КРЗ = _ .45 W _______________________(4 90)
хЛУ{ (хЛ) хП2]* (у.Л)
В приближении сферы Ферми мы должны положить к - kF и заменить энергию,
входящую в знаменатель формулы (4.90). па энергию Ферми газа свободных
электронов. После всех этих приближений [344] получаем
<k I у"1"131 к) ~ - у лУН)г) 41 (с
( | 1 к>~ i)/ъъпьи)'
Используя формулы (2.33) и (3.91), приходим к выражению [3441:
<.к | wkkp3 I к)" V 2{21 +ч" ^
0 Vef I
(4.91)
Таким образом, хотя и с определенными "натяжками", но ФС-формфактор может
быть записан в общем виде теории псевдопотенциала (3.92)! Следовательно,
ФС-формфактор можно оптимизировать как на "линейное экранирование"
(требуя, чтобы длинноволновый предел был равен - 2/3 Ер), так и на
"минимальное возмущение" (требуя, чтобы предел равнялся нулю). Вместе с
тем ясно, что появление фриделевской суммы в (4.91) - итог определенных
приближений, и для ФС-псевдопотенциала нет строгой связи между
длинноволновым пределом его формфактора и фриделевской суммой.
Как же численно проводить оптимизацию для ФС-псевдопотенциала и что
понимать под критерием оптимальности?
§ 13. ФАЗОВО-СДВИГОВЫЕ ФОРМФАКТОРЫ
181
Самым простым способом изменения величины потенциала является его
однородный сдвиг по оси энергий (практически - изменение МТ-скачка или
МТ-сдвига, см. § 9). Контроль можно вести как с помощью прямого расчета
фриделевской суммы по фазовым сдвигам, используя для определения энергии
Ферми кристалла первый порядок теории возмущений (3.102), так и по
величине длинноволнового предела формфактора.
В литературе нет расчетов из первых принципов формфакторов фазовых
сдвигов, и тем более - их оптимизации. Матричные элементы <k + gn-
(1ТККРЗ | k -j- g"> и <к -f gn< \ 1КППВ | к + gn>, конечно, вычисляются
при каждом расчете зонной структуры, но в таких расчетах эти величины
никогда не представляют в виде формфакторов. Поэтому мы не будем сейчас
обсуждать этот вопрос.
Если рассматривать локальный ФС-формфактор (4.69) как модельный, с
параметрами R и А = R2f0/Q, то выражение (4.95) является определением
параметра А:
2 п & (Кр)
A = -jE°f у*. (4.92)
Теперь проверим - является ли теория длинноволнового предела внутренне
согласованной: вычислим неизвестную пока фрп-делевскую сумму для
локального ФС-псевдопотенциала (4.71) п сравним, совпадает ли она с той,
