Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
понять физический (или скорее математический) смысл смены знака
производной в (4.84) по сравнению с (4.82). ККРЗ-формфактор имеет два
типа сингулярностей: сингулярности, связанные с нулями %, при Е = ег, и
сингулярности при Е = Е{, связанные с нулями ]\(ШЕ). Положение Е{ зависит
§ 13. ФАЗОВО-СДВИГОВЫЕ ФОРМФАКТОРЫ
177
от величины R, которая связана с параметром решетки. Когда параметр
решетки велик, то и Л велико, а так как R\^Е{ -
- const, то Е{ смещено в сторону низших энергий. Поскольку в Т, в формуле
(4.55) перед &х стоит минус, то энергетические зависимости Ki и 2fx
конкурируют, знак энергетической производной dTJdE зависит от того, "чья
сингулярность ближе". Для кристаллов с очень большим параметром решетки
определяющей является сингулярность в 2fx, что приводит к (4.84). С
уменьшением параметра решетки сначала происходит компенсация
энергетических зависимостей A,i(=0) и а затем сингу-
лярности 1 отодвигаются в область больших энергий, и начинает
доминировать резонанс в Я,;(=2). Постоянная решетки велика у щелочных и
щелочно-земельных металлов, поэтому их формфакторы практически не зависят
от Е, и для них пригодна обычная теория псевдопотенциалов. Для переходных
металлов постоянная решетки меньше, для них поэтому появляется
необходимость в резонансном псевдопотенциале.
Из сказанного следует, что псевдопотенциал состоит как бы из двух
слагаемых (в случае метода ККРЗ - это Кх и ,%), одно из которых
определяется межатомным расстоянием, а другое - особенностями
электронного строения исходного атома. Для простых металлов основную роль
играет "решеточный" псевдопотенциал, а индивидуальность конкретного
вещества определяется только малыми возмущениями. Это значит, что,
видимо, можно построить новую теорию псевдопотенциалов - так, чтобы она
явным образом использовала именно эти параметры, описывающие химическую
связь в твердом теле. Оптимизация псевдопотенциала, проводимая с учетом
кристаллического окружения, о которой шла речь в §§ 8, 9, представляет
собой один из аспектов такого подхода.
6. Радиусы Андерсена. В связи с этими замечаниями следует остановиться
на зависимости формфактора от величины R, радиуса действия
кристаллического потенциала.
Из формулы (2.104) для псевдопотенциала теории рассеяния
(2.105) следует, что можно для каждого I выбирать свое значение R.
Каковы критерии наилучшего выбора таких R1?
Для анализа зависимости ФС-формфактора от R требуется знать зависимость
Тх от R, для чего определим функцию КХ(Е) при всех г, вводя ЯДЕ, г) как
h{E' r) = w^)i(r)l{E'г)-
Тогда уравнение Шредингера (2.25) примет вид
-^L = -(xI + 4)2-E + F(r) + -<4-85)
12 л. Ж. Ястребо!, А. А. Каджельсоа
178
ГЛ. 4. ТЕОРИЯ ФОРМФАКТОРОВ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛОВ
Функция ai зависит теперь от двух переменных: от Е п г. Проследим влияние
зависимости от Е на зависимость от г.
В § 2 мы получили формулу (2.71), причем легко видеть, что ее вывод может
быть проведен для сферы любого радиуса. Таким образом, из (2.71) следует,
что для любого значения г
-^h(E,r) <0. (4.86)
При достаточно больших значениях г в (4.85), при которых вклад
центробежного потенциала меньше остальных слагаемых в правой части,
получаем из (4.85):
0. (4.87)
Таким образом, зависимость ki от г подобна зависимости к, от Е, и функция
ki(r) имеет сингулярности в некоторых точках, которые обозначим R\. Легко
видеть, что положение Rls зависит от энергии, т. е. радиальная и
энергетическая зависимости функции kt(E, г) (а тем самым и ФС-
формфактора) связаны друг с другом.
В силу (4.86) при любом г малое приращение энергии приводит к малому
понижению значения кАЕ). Если бы оказалось, что R\(E + АЕ)> R\(E),
то неизбежно возникло бы нарушение условия (4.86),
в чем легко удостовериться графически.
Отсюда следует, что Rls (Е -[- АЕ) < Rls (Е). Поскольку вместо
зависимости Rls(E), можно рассматривать зависимость е((г), то для каждого
значения г будет свое значение энергии сингулярности, ei. Возьмем
некоторую точку г и две энергии, Е< и 7?>, такие, что
Е< < ег(г) <Е>Ш
Для 7?< функция h отрицательна, а для Е> - положительна (эти энергии
близки к энергии сингулярности, но находятся по разные стороны от нее),
значит, возникает формальное противоречие с (4.86):
кАЕ>)>Ш<). (4.88)
Конечно, на самом деле нигсакого противоречия нет, так как нет
предельного перехода: при Е<-^Е> функция kt претерпевает разрыв.
В силу (4.85)
d)4 dkt
dr Е=Е>'> dr
и можно ожидать пересечения двух функций, ki(E>) и ЯД?'<) в
§ 13. ФА60В0-СДВИГ0ВЫЕ ФОРМФАКТОРЫ
179
некоторой точке RlA. Тем самым возникает важное равенство:
= (4.89)
Выражение (4.89), как и (4.88), не противоречит (4.86), так как
недифференцируемо по Е.
Положение точек RlA связано с положением точек Rls.
Ясно, что значения RlA будут различны для каждого Z. Таким образом,
каждую компоненту псевдопотенцпала можно "оптимизировать" па
энергетическую независимость, но, конечно, в узком диапазоне энергий, и
только приближенно. Действительно, функции КМ пересекаются только для
