Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
расчете энергии зонной структуры в (1.40) проводится суммирование по всем
векторам q, т. е. учитываются все направления вектора q. Возникает
естественная идея: не прибегать к приближению сферы Ферми, а усреднить
формфактор по всем направлениям q. Это приведет к новому квазилокальному
выражению. Можно, казалось бы, рассуждать и наоборот: коль скоро нам в
расчете "мешает" то, что формфактор зависит от углов вектора к, то нельзя
ли усреднять по углам вектора к? Вид ФС-формфактора (4.68) показывает,
что эти два усреднения полностью эквивалентны, вид усредненного
формфактора в обоих случаях будет одинаков.
§ 13. ФАЗОВО-СДВИГОВЫЕ ФОРМФАКТОРЫ
171
Проведем усреднение (4.68) по углам (например, вектора q):
Нулевой индекс у /( вызывает заметные упрощения, поскольку
Таким образом, мы пришли к исключительно простому виду для формфактора
(4.69).
В литературе существует модельный формфактор Вельякови-ча - Славича
[341], имеющий вид формулы (4.69). Этот формфактор был предложен как
обладающий наипростейшей зависимостью от q. Не может не вызывать
удивления тот факт, что нам удалось показать, что этот модельный
формфактор может быть получен в рамках теории рассеяния.
Представляет интерес вид псевдопотеицпала, соответствующего усредненному
фазово-сдвиговому формфактору (4.69). Легко проверить, что
Поэтому усредненному ФС-формфактору соответствует локальный
псевдопотенциал:
4. Зависимость формфактора от Е. Рассмотрим теперь зависимость ФС-
формфактора от энергии. В первую очередь нас интересует метод ККРЗ,
поскольку его формфактор лучше обоснован с точки зрения теории рассеяния.
Можно надеяться, что исследование его энергетической зависимости прольет
свет и на энергетическую зависимость других формфакторов. В частности, мы
будем знать, каких особенностей следует (или не следует) ожидать при
применении не зависящих от энергии модельных псевдопотенциалов (которые
удобнее для использования) к переходным металлам.
q
4rU(Etk)U{qR)- (4.69)
и6л
О
j VioVr оУго dQ
Тогда
(4.70)
e-i(k+q)706 (г - R) eikrd3r.
Щг) =/06(r-R).
(4.71)
172
ГЛ. 4. ТЕОРИЯ ФОРМФАКТОРОВ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛОВ
В § 4 мы видели, что теория рассеяния в борновском приближении
эквивалентна теории возмущений, с которой мы имеем дело в теории
псевдопотенциалов при расчете всех свойств кристалла. Поэтому естественно
начать исследование энергетической зависимости формфакторов с
рассмотрения рассеяния в борновском приближении.
Борновское приближение применимо тогда, когда фаза рассеяния мала. В
нулевом приближении при определении фазового сдвига волновая функция
заменяется на плоскую волну, а в первом приближении надо учитывать
"подмешивание" нерегулярного решения с помощью фазового сдвига,
рассчитанного в нулевом приближении:
52? = Н {кг) - tgip/p (иг). (4.72)
Легко получить выражение для логарифмической производной V-B, выразив %i
через tg тр с помощью (2.67) и разделив числитель на знаменатель
1 - -j- tg rp + ( у- tg тр h \h
(4.73)
В (4.73) появилось отношение ji/nh равное по (2.73) тангенсу фазы
рассеяния на абсолютно твердой сфере, tg 3(. Видно, что ряд (4.73)
сходится, если
Itg тр| < I tg fi,l, (4.74)
что в силу обсуждения, следовавшего после формулы (2.107), является
условием слабого рассеяния (рассеяние на потенциале много слабее
рассеяния на абсолютно твердой сфере).
Можно сказать, что выражение (4.74) является новым, по отношению к
критерию Баргманна (§ 4), критерием сходимости ряда теории возмущений.
При построении (2.153) из (2.56) мы фактически использовали именно
(4.74).
Итак, в первом приближении глубина "псевдопотенциала" теории рассеяния
(или, что в данном случае то же самое,- ККРЗ-псевдопотенциала) равна
1В " Т11 // пс\
<4'7S>
т. е. борновское приближение эквивалентно замене фазы тр в (2.106) на
фазу тр.
Какова же энергетическая зависимость псевдопотенциала, построенного в
борновском приближении? Из анализа энергетического поведения фазовых
сдвигов в § 4 следует, что малость фа-
§ 13. ФАЗОВО-СДВИГОВЫЕ ФОРМФАКТОРЫ
зы эквивалентна "малости" энергии, и можно записать (2.153) в виде
(4.76)
Эта формула может быть получена и непосредственно из определения фазы в
борновском приближении (2.153) использованием аспмптотпк функций Бесселя
(2.28), справедливых в довольно широком энергетическом диапазоне.
Подставляя (4.75), (4.76) в (4.73), получаем
откуда видно, что в борновском приближении псевдопотенцнал не зависит от
энергии. Это - очень важный вывод, так как мы получаем обоснование теории
модельных псевдопотенциалов, не зависящих от энергии (во всяком случае,
для простых металлов, где рассеяние мало).
Отклонения от борцовского приближения можно представить в виде ряда по
степеням Е:
В § 2 мы видели, что переходные металлы характеризуются наличием
квазисвязанных состояний, и это приводит к обращению tg rp в оо.
Сингулярность tgrp(Е) связана с сингулярностью КАЕ) (формулой (2.83)).
Таким образом, для переходных металлов борновское приближение становится
