Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
к (к + q) = /* hMl _ ^ 2 (4- (к, R)j hL (к
+ q,R).
(4.61)
Тогда получим
<к + q | WnnB j ft) = (E - к2) -7.1 {q-R) -f
ь-о 4
rS?i(?,ft!)5i( k,k^q), (4.62)
L
где мы ввели обобщение (4.56):
Ti(E, ЕJ = 7Н(Е) - J. (4.63)
В приближенпи сферы Ферми Е = Е%, к = к^ и несепарабельное слагаемое
(кстати, потерявшее зависимость от угла между к и k+q в (4.62) по
сравнению с (4.58)) исчезает, и ППВ-формфактор совпадает с ККРЗ-
формфактором.
Забегая вперед, заметим, что ККРЗ-формфактор имеет сингулярность не
только прп = 0, по и при jt = 0, а это хотя и позволяет получать почти не
зависящий от энергии формфактор для простых металлов, но усложняет его
энергетическую зависимость для переходных металлов.
ППВ-формфактор не страдает этим недостатком для переходных металлов, а
для простых металлов, где отклонение Жк) от к2 незначительно, величина Tt
слабо зависит от энергии в силу тех же причин, что и ККРЗ-формфактор.
Кроме того, поскольку характер зависимости Я,г и 3^ от аргумента
одинаков, то первый н второй члены в (4.63) до некоторой степени
компенсируют энергетическую зависимость друг друга.
§ 13. ФАЗОВО-СДВИГОВЫЕ ФОРМФАКТОРЫ
169
Таким образом, ППВ-формфактор отнюдь не уступает ККРЗ-формфактору,
особенно для переходных металлов, где, как показывает опыт [337],
сингулярности З/iiE) сильно влияют на сходимость секулярного уравнения
метода ККРЗ (то же самое - для тяжелых щелочных металлов [338]).
Поэтому при расчетах зон металлов метод ККРЗ практически не используется;
для этого применяются методы ППВ и ККР (и модификация ККР - метод
модельного гамильтониана). В § 16 мы исследуем причину такой неудачи
теории рассеяния при последовательном конструировании псевдогютенциала и
найдем, что на самом деле теория рассеяния дает некоторый класс
псевдопотенциалов, к которому принадлежит псевдопотенциал ККРЗ, иногда не
вполне удачный. Можно найти псевдопотенциал, имеющий ту же функциональную
форму, что и ККРЗ-псев-доиотенциал, но с более "хорошей" энергетической
зависимостью (см. также § 14).
К сожалению, кроме ККРЗ-формфактора другие представители этого класса
формфакторов в литературе не рассматривались. Поэтому далее будем
рассматривать именно ККРЗ-псевдопотен-циал. Читатель легко сможет
отличить, какие черты свойственны именно ККРЗ-формфактору, а какие -
являются "видовыми" для этого класса псевдопотенциалов.
В ККРЗ-формфакторе (4.55) сумма по I в силу (4.56) и (2.89) должна
насчитывать небольшое число членов (1тах ^ 3), поскольку для больших I
начинает выполняться приблизительное равенство Х^Е) ~ /УАЕ), так как для
них рассеяние мало. В методе ППВ члены в аналогичной сумме (4.58), (4.62)
надо учитывать до сходимости суммы, что несколько увеличивает необходимое
машинное время.
В целом метод ППВ хорошо зарекомепдовал себя при расчетах зонной
структуры металлов и сплавов [212, 336, 337, 339, 340], хотя с точки
зрения теории рассеяния обоснован он хуже, чем метод ККРЗ.
3. Зависимость формфактора от q. Исследуем зависимость ФС-формфактора
от q. В случае ППВ-формфактора несепарабельный член убывает (см. (4.58) и
(2.29)) пропорционально i/q, т. е. весь ППВ-формфактор спадает не
быстрее, чем i/q, тогда как формфактор метода ОПВ спадает, как i/q2.
Для ККРЗ-формфактора несепарабельный член отсутствует, но легко видеть,
что ^-зависимость ККРЗ-формфактора определяется ^/-зависимостью
сферических функций Бесселя, входящих в SL, асимптотика которых такова
(см. (2.29)), что весь формфактор спадает тоже, как i/q. Таким образом,
спадание формфакторов фазовых сдвигов с q происходит медленнее, чем
убывание ОПВ-формфактора и формфактора теории рассеяния (2.161), (4.5),
основанного на использовании ортогонализованных плоских волн.
170 ГЛ. 4. ТЕОРИЯ ФОРМФАКТОРОВ ПСЕВДОПОТЕНЦЫАЛОВ
Выделим явно ^-зависимость ФС-формфактора, чего нельзя было сделать для
ОПВ-формфактора. Для этого воспользуемся соотношением (2.34), которое
применим к hL(k + q) в SL. Тогда
получим, используя для простоты действительные гармоники:
^ TtSL (к, к + q) = 2 Fl (Е, к) П (qR) Щь (q), (4.64)
L 0 L
где
Fl(E, к) = 4л 2 ChvTvit' (kR) jV (Щ (к) Vw (к). (4.65)
L'L"
Можно показать, что для коэффициентов Гаунта существует следующее правило
сумм:
у CL' CL' - ^LlL2 1 / (^ "Ь *) "Ь 1) г1>о (г Rfi\
2 бьыClu - -щ у ----------------------------------(4.66)
mm'
С помощью (4.66) можно факторизовать выражение (4.65):
Fl(E, к) = /ДЯ, |к|)^(к),
где
/, (Е, | к |) = |/ 'ьс (2/ . I) X
X 2 V(2l'+ 1) (2Г+ 1) cXvoii' (Щ h- (kR) Тг (Е). (4.67)
VI"
Таким образом, мы привели ФС-формфактор к виду
У. TiSL (к, к + q) = 2 ft (Е, к) ft (qR) Уь (q) Щь (к), (4.68)
Т 0 L
который удобен тем, что углы векторов к и q входят в него на равных
основаниях.
В § 11.2 мы ввели квазилокальное приближение сферы Ферми, чтобы иметь
возможность оперировать с нелокальным формфактором, как с локальным. При
этом мы аргументировали тем, что в случае q > 2kF более существен
формфактор рассеяния назад. Но мы можем рассуждать и по-другому: при
