Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
названии отражалась суть метода (например, метод ОПВ, метод ЛКАО, метод
функции Грина и т. д.), но название "метод ККРЗ" является очень
распространенным.
166
ГЛ. 4. ТЕОРИЯ ФОРМФАКТОРОВ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛОВ
ортогонализована к остовным состояниям рассеивателя (Е < 0), а в методе
ППВ плоская волна сшивается с функцией, описывающей рассеяние, т. е. с
тонным решением для Е > 0. В методе ККРЗ ситуация с пробными функциями
сложнее, она требует более детального анализа, который мы отложим до §
15.
Поскольку в методе ППВ используются результаты теории рассеяния, то
матричные элементы секуляриого детерминанта метода ППВ могут быть
выражены через фазовые сдвиги. Поэтому, говоря о фазово-сдвиговых
формфакторах, мы будем говорить и о формфакторах метода присоединенных
плоских волн.
2. ККРЗ- и ППВ-формфакторы. Вычислим ККРЗ-формфак-тор. Для этого мы
должны взять матричный элемент псевдопотенциала (2.105) на плоских
волнах:
<k + q|lFKKP3|k>= /k + q ^(h-30)6(г- R)P
lm
lm
k\ = /
= -Д= 2 (h -3Ti) f e-i(k+q)rS (r - R) hL (k, I r I) Yl (r) d*r = У yo L
УТТ]hV3(E)SL(k, k + q), (4.55)
L
где
7fKP3 (E) = h (E) - (E), (4.56)
SL= R*hL(k, R)h*L(k + q, R). (4.57)
Функция hL определена формулой (2.33), a %i - логарифмическая производная
радиальной волновой функции 5?г и определена (2.66).
Формула для ППВ-формфактора выводится более сложным
образом, поэтому мы ограничимся тем, что приведем его явный
вид (с теорией метода ППВ можно ознакомиться в [54, 212, 336, 3371):
<k + q | WnnB | к> =
= 4-f2 (? - к (к + q)) ^4-2 7ГВ (к, к + q), (4.58)
0 q L
где SL определено соотношением (4.57), и
ГППВ {Е) = ^ (4 59)
Обратим внимание на характерный вид формул (4.55) и (4.58): в них
разделены и представлены в виде сомножителей зависящая и не зависящая от
энергии части Тг и SL. Функции, зависящие от нескольких переменных и
могущие быть представлены в виде суммы произведений других функций,
каждая из которых
§ 13. ФАЗОВО-СДВИГОВЫЕ ФОРМФАКТОРЫ
167
зависит только от одной переменной, называются сепарабельными. Например,
функция Грина (2.9), зависящая от г и г', является сепарабельной функцией
этих переменных. В случае сфе-рически-симметричного рассеивателя
зависимость волновой функции от модуля и углов вектора г тоже является
сепарабельной (см. (2.26)).
В ППВ-формфакторе имеется несепарабельное слагаемое, первый член в
(4.58). Это слагаемое не зависит от потенциала, оно появляется из-за
того, что плоская волна exp (iqr) была проинтегрирована не по ячейке
Вигнера - Зейтца (тогда интеграл равнялся бы 6q)0), а по сфере радиусом
R, который является радиусом действия кристаллического потенциала.
Подчеркнем, что в методах ККРЗ и ППВ используются потенциалы
ограниченного радиуса действия (МТ-потенцналы), как это видно из
определения (4.56) и (4.59), куда входит логарифмическая производная,
взятая на этой сфере; введение псевдопотенциала
(2.105) было возможно только из-за того, что мы предположили
конечность радиуса действия потенциала. Если бы потенциал имел
продолжение за эту сферу (МТ-сферу), то надо было бы разделить в
потенциале внутрисферную и внесферную области; внутрисферный потенциал
можно было бы заменить на псевдопотенциал типа (2.105), который привел бы
к сепарабельному слагаемому типа (4.55), а внутрисферный потенциал
(поправки к МТ-форме, ср. § 9) дал бы несепарабельные слагаемые (фурье-
образы этого потенциала).
Сепарабельность ККРЗ-формфактора не только в том, что можно выделить
функции, зависящие и не зависящие от энергии: разделены потенциальный и
структурный вклады в формфактор (это не факторизация матричного элемента,
с которой мы сталкивались в гл. 1). Действительно, функция SL
определяется только типом и параметром кристаллической решетки и радиусом
действия потенциала, который связан с межатомным расстоянием в решетке
(т. е. с параметром решетки). Эта функция однозначно определяется
структурой кристалла. Функция Т; определяется фактически только
характеристиками кристаллического потенциала.
Между двумя рассматриваемыми фазово-сдвиговыми формфакторами существует
важное различие. Оно заключается в том, что в ККРЗ-формфактор входит
разность логарифмических производных для движения с рассеянием и для
свободного движения без рассеяния, тогда как в ППВ-формфактор - только
производная для движения с рассеянием. Это значит, что ККРЗ-формфактор в
случае модели пустой решетки автоматически обращается в нуль, поскольку
^рассеяние =3fl(.E), TfKV3{E)^0.
{отсутствует
168
ГЛ. 4. ТЕОРИЯ ФОРМФАКТОРОВ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛОВ
ППВ-формфактор для пустой решетки отличен от нуля:
<k+q|^nnB|k>
рассеяние
отсутствует
4л/?2 (Е - к (к - q)) hip. ~%у;(Е)8ь (к, к + q).
Q
о
Следовательно, ККРЗ-формфактор можно выразить через ППВ-формфактор:
<k + q | WKKP3 | к) = <к - q | И'ППВ j к>рассеяние -
имеется т/ППВ I
- (к -р q \W | к) рассеяние . (4.60)
1 ютсутствует
Можно преобразовать ППВ-формфактор к виду, близко напоминающему ККРЗ-
формфактор. Для этого используем формулу [212]:
