Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
F(r)). Тогда в силу одинаковости всех одно-
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОДНОЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
15
узельных потенциалов соответствующие интегралы не зависят от номера узла,
и мы получаем общее выражение:
Здесь мы положили q = к' - к и ввели так называемый структурный фактор
S(q) и формфактор одноузельного потенциала F(q) = <k + q|F|k>. Заметим,
что в формфакторе интегрирование проводится по всему пространству, а пе
только по ячейке Вигнера - Зейтца, как при нормировке плоских волн:
Структурный фактор 5(q) определен для любого вектора q; для периодической
решетки 5(q) обращается в нуль, если q отлично от какого-либо вектора
обратной решетки g"; 5(q = gn) = == 1.
Формфактор потенциала определен формулой (1.23) тоже для всех значений
вектора q. Если оператор потенциала V является простым оператором
умножения, то формфактор зависит только от q и называется локальным. В
дальнейшем мы введем более сложные по форме эффективные потенциалы
(псевдопотенциалы), большинство из которых не является операторами
умножения. Их формфактор может зависеть не только от q, но и от к. Такие
формфакторы н потенциалы называются нелокальными.
Рассмотрим простейшие примеры. Пусть F(r)-экранированный кулоновский
потенциал притяжения:
Вычисляя его формфактор, направим полярную ось координат вдоль вектора q
[8]. В результате получим
gi(k-k')r^3r _
5 (к - к') <к' | F [ к) = S (q) V (q). (1.21)
(1.22)
V
по всему пространству
(1.24)
Г
^КЭ (?)=-
4jt~ "
(1.25)
В пределе при С 0 вместо (1.24) мы имеем дело с обычным
(неэкранированпым) кулоновским потенциалом F," а вместо
16 ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОДНОЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
(1.25) -с его формфактором:
7*2 4 uZe% 4
(г) = - VK(q)~ g- ± (1.26)
Сравнивая Ук с Укэ, мы видим, что экранирование кулоновско-го потенциала
приводит к устранению сингулярности формфактора при q -> 0, не меняя
характерного поведения V(q) ~ q~z при q -*¦ оо. Эта черта сохраняется для
большинства формфакторов (см. §§ 11-13).
Пусть потенциал У (г) исчезающе мал. В этом случае кристалл представляет
собой "пустую решетку": электроны движутся внутри воображаемой
кристаллической решетки, в узлах которой "нет потенциалов".
Секулярное уравнение (1.19) модели пустой решетки нодобпо по форме
предельному случаю модели ЛКАО (1.17):
det | (гп - Е) Ьпп> | = 0. (1.27)
Модель пустой решетки эквивалентна свободному электронному газу с
периодическими граничными условиями. Зонная структура в модели пустой
решетки рассмотрена в книгах [9-11].
8. Теория возмущений. Секулярное уравнение (1.19) может быть
приближенно представлено в виде ряда теории возмущений. Для
доказательства этого рассмотрим вариант метода Лев дина "свертки"
секулярных уравнений [12-14].
Пусть имеется матрица X, представленная в блочном виде:
Х = {ЛС в)- <'-28)
Введем единичную матрицу I и матрицы У и Z:
I 0\ " ID 0
Y ~ D~XC I)' " [о D-1
Очевидно, dety = detZ=l, что легко доказать, разлагая соответствующие
определители по минорам, начиная с левого верхнего угла каждого
детерминанта. Рассмотрим произведение матриц P - XYZ. Очевидно, что detP
= detX. Выполняя такое перемножение матриц, получаем
det X - det D • det {A - BD~lC). (1.29)
Таким образом, удалось выразить детерминант матрицы большой размерности X
через детерминанты матриц меньшей размерности.
Применим теперь метод Левдина к (1.19), чтобы представить
(1.19) в виде одной строки. Пусть диагональный матричный элемент
возмущения <к|У|к> имеет первый порядок малости по сравнению с кг\ <k +
gjy[k> - второй порядок малости;
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОДНОЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
17
<k+gn-lplk + g"> - третий порядок малости, которым мы пока что
пренебрегаем. Блок А в (1.28) состоит из одного элемента: кг - Е +
<k|F|k>, блоки В и С эрмитово-сопряжены друг другу, их матричные
элементы: <k + gjF|k>; блок D диагоналей. Обращение detD в нуль по (1.29)
удовлетворяет (1.19), но не дает физически интересных решений, так как
описывает только высо-колежащие законы дисперсии пустой решетки. В
результате из
(1.19), (1.29) получаем
где (...) означает следующие порядки, которые возникли бы из-за
недиагональности D.
Мы получили ряд теории возмущений в форме Бриллюэна - Вигнера [15].
Теперь в знаменателе дроби в (1.30) положим энергию Е равной закону
дисперсии в первом порядке теории возмущений {Е = k2 + <к|F|k>) и учтем,
что по (1.20) формфактор локального потенциала <k + gn| F|k + g">
одинаков для всех п. В результате мы придем к ряду теории возмущений в
форме Рэлея - Шредингера [151:
Выражение (1.31) очень удобно - оно позволяет аналитически вычислять
законы дисперсии, по оно же является и более приближенным. Именно это
выражение лежит в основе современной теории атомных свойств твердых тел;
с его помощью вычисляется полная энергия кристалла (см. ниже).
В (1.31) входят два типа сумм: бесконечные суммы по векторам обратной
решетки, формирующие вклады яг-го порядка, и бесконечная сумма этих
вкладов, обычно обрываемая на втором или третьем порядке теории
