Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
идея представления Yk в виде ряда по пробным функциям сохраняется во всех
методах. Может оказаться удобным вводить пробные функции как решения
некоторой вспомогательной задачи:
П0Ф, = е,Ф" (1.10)
где 7/0 - "начальный" гамильтониан, а е,- "начальный" закон
дисперсии. Представляя разность гамильтонианов в виде оператора
Д (1.11)
получаем уравнение
det](ef-,E)6* + Д*| = 0, (1.12)
где учтено, что функции Ф, ортонормировапы.
В случае, если в (1.6) учтены только два члена, то (1.12) решается
аналитически
Е± = Е±Ег, (1.13)
здесь введепы обозначения:
Е = Еа + Еи Е0 - 72(ee + ej, 7?! ='/2(Да<. + Дьь)
(1.14)
Ег = 72У(ев + Даа - гь - Аьь)2 + 4|Aof)|2.
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОДНОЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
13
Этот результат можно трактовать так. Имелась квантовая система,
обладавшая уровнями е0, еь. Было включено взаимодействие А между этими
уровнями. В результате возник "средний" двукратно вырожденный уровень Е",
он сдвинулся (вверх или вниз по эпергии) на Еt и расщепился на два новых
уровня
и отстоящих от уровня Е = Е0 + Е1 на ±Е2 (рис. 1.1).
Из (1.13), (1.14) видно, что новые уровни невозможно нумеровать старыми
квантовыми числами (а п Ъ), поскольку произошла так называемая
гибридизация уровней; возникли новые "числа" (+ и -).
Если положить Aab(=Abo) =
= 0, то гибридизации уровней по возникнет - будут иметься только
смещенные эпергии еа + Да0 п Еь 4" A6i.
6. Модель линейной комбинации атомных орбиталей (JIKAO).
Применим описанный аппарат к задаче образования кристалла из N атомов, в
каждом из которых имеется М уровней, характеризующихся совокупностью
некоторых квантовых чисел а. Квантовые числа i в разложении (1.6) должны
включать в себя кроме а еще и номера атомов v. Но в этом случае
размерность секуляр-ного уравнения (1.9) будет чрезмерно велика. Поэтому
блохов-скпе граничные условия (1.2) учитывают в самом виде пробных
функций Фц записывая их в виде линейной (блоховской) комбинации атомных
орбиталей <ри(г) (J1KAO):
ф"(к, r) = ^7=2eiktv(Pa(r - tv)- (1Л5)
v V
li результате матричные элементы в секулярном уравнении (1.7) оказываются
занумерованными квантовыми числами атома, номера узлов кристаллической
решетки "отсуммированы" внутри се-кулярного уравнения, что резко
уменьшает его размерность:
^Pa = 2eik'v Гфз*(г)Яфа(г-ККг = Я3а(к). (1.16)
V О
В предельном случае сильной связи, когда существенно взаимодействие
электрона только с центральным атомом, даже при ортогональности функций
соседних атомов, происходит гибридизация начальных законов дисперсии
(атомных уровней). Действительно, на исходные атомные уровни действуют
матричные элементы потенциала центрального атома, взятые на функциях
цент-
Рис. 1.1. Образование новых уровней Е+ и Е_ в результате гибридизации
старых уровней га и гь- "Слипание" уровней ед и еь в уровень Е0 - просто
методический прием, призванный подчеркнуть "исчезновение" старых
квантовых чисел.
14
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОДНОЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
рального и соседних атомов. "Потенциалом возмущения" служит изменение
граничных условий, накладываемых па волновую функцию задачи: вместо
требования затухания функции на бесконечности введено условие (1.2),
которому, как легко проверить, удовлетворяет ЛКАО (1.15).
Если перекрывание функций центрального и соседнего атомов отсутствует,
что происходит, например, при бесконе'чном увеличении параметра решетки,
то из (1.12) автоматически следует предельный переход к задаче об
энергетических уровнях изолированного атома
det | (еаТ - Е) бра | = 0. (1.17)
7. Модель почти свободных электронов (ПСЭ). В этой модели кристалл
рассматривается как пространственная решетка пз ионов, в которую "впущен"
электронный газ. Если в модели ЛКАО возмущение спектра возникло из-за
отклонения потенциала от атомного и изменения граничных условий, то в
модели ПСЭ возмущением служит отклонение потенциала от нуля. При нулевом
потенциале волновая функция электрона (в вакууме) есть плоская волна,
нормированная на все пространство. В кристалле удобно нормировочный
интеграл разбить на сумму вкладов от каждого узла кристаллической
решетки, а затем, воспользовавшись одинаковостью таких вкладов, вынести
их за знак суммы. Тогда суммирование по всем узлам даст просто число
узлов N. Вводя объем ячейки Вигнера - Зейтца fi0 - Q/N, где й - объем
кристалла, получим, что плоские волны могут быть нормированы и на ячейку
Вигнера - Зейтца.
Функцию нк (г), периодическую в кристалле, можно разложить в ряд Фурье по
векторам обратной решетки g" [8J; в результате функция 'Fk(r) (1.3) будет
представлена в виде разложения по плоским волнам !k + g">;
^(г) = ^=2^(к+8п)Г- (1Л8) П
Секулярное уравнение (1.12) в модели ПСЭ примет вид:
det | (гп - Е) 8пп> + <k + gn. | У "к | к + gn> | = 0, (1.19)
где e" = (k + g")2 и введеп матричный элемент кристаллического
потенциала:
<k'|FKP|k> = je-ikr'FKP(r) eik'd3r. (1.20)
Кристаллический потенциал всегда можно представить в виде суммы
одинаковых вкладов от всех узлов кристалла (одноузелъ-ных потенциалов
