Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
иметь периодичность кристалла:
Г(г + 0=Г(г), (1.1)
где tv - вектор трансляции (радиус-вектор v-ro узла решетки). Можно
доказать [1-5], что при трансляции на tv одноэлектронная волновая функция
гР удовлетворяет так называемой теореме Блоха:
?(г+ tv) = eiktvY(r). (1.2)
Вводя функцию ик (г)= ? (г) exp (-iktv), легко заметить, что ик (г tv) =
ик(г), т. е. Т- можно представить в виде
ЧМГ) = М г)е^, (1.3)
где ик (г) обладает периодичностью решетки кристалла. Таким образом,
волновая функция электрона в кристалле есть плоская волна, модулированная
периодическим множителем.
Вектор к называется волновым вектором; для электронов в вакууме энергия Е
равна h2k2/2m, для электронов в кристалле зависимость ? от к оказывается
более сложной. Ее отыскание является задачей так называемой зонной теории
кристаллов. Функция Е{к) называется законом дисперсии.
В дальнейшем мы будем представлять кристаллический потеп-циал Т в виде
суммы потенциалов, центрированных на каждом узле кристаллической решетки
F(r - tv). В этом случае1) уравнение Шредингера можно записать для
каждого такого потенциала (одноузельного потенциала). Для того чтобы
сохранить информацию о кристалле, надо, чтобы волновая функция этого
одноузельного уравнения Шредингера удовлетворяла теореме Блоха (1.2).
Таким образом, теорема Блоха (1.2) имеет смысл граничных условий,
накладываемых на одноузельное уравнение Шредингера.
3. Обратное пространство. Размерность волнового вектора к - обратная
длина; тем самым вектор к определен не в координатном пространстве
кристалла, а в обратном пространстве.
В обратном пространстве можно ввести обратную решетку; радиусы-векторы
узлов обратной решетки будем обозначать g". Между tv и gn существует
важное соотношение:
ty^n 2jt/vnj
J) Всюду в дальнейшем мы будем обозначать рукописными буквами Т, Ж
потенциалы и псевдопотенциалы, являющиеся суперпозицией соответствующих
одноузельных (V, W).
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОДНОЭЛЕКТРОННОЙ ТЕОРИИ
11
где /vn - целые числа. Напомним, что около каждого узла прямого
пространства можно выделить область, все точки которой находятся ближе к
данному узлу, чем к любому другому; такая область называется ячейкой
Вигнера - Зейтца. Ячейку Вигнера - Зейтца можно построить и в обратном
пространстве; в этом случае говорят о первой зоне Бриллюэна. В зонной
теории расчеты законов дисперсии проводят только для волновых векторов,
лежащих в пределах первой зоны Бриллюэна.
Если граница зоны Бриллюэна перпендикулярна вектору g" (одному из их
бесчисленного множества) и проходит через его середину, то любой вектор
к, попадающий па эту границу, удовлетворяет очевидному соотношению
|к| = Ik - g"|. (1.4)
Обычно предполагается, что кристалл имеет очень большие линейные размеры,
причем волновая функция на противоположных гранях кристалла принимает
одно и то яге значение. Это приводит к тому, что вектор к может принимать
только фиксированные значения, но они расположены так близко друг к
другу, что при необходимости можно переходить от суммирования по
допустимым значениям к к интегрированию по d3k.
4. Единицы измерения. Постоянная Планка h принимается равной 1. В
качестве единицы длины используется боровский ра-
О
диус а0 = 0,529177 А; в качестве единицы массы - удвоенная масса
электрона т; в качестве единицы энергии используется энергия ионизации
атома водорода - ридберг: 1Ву = 13,6 эВ. Таким образом, в атомных
единицах:
h - 1, h2/(me2)=a0 = 1, те2 = 1,
т = 1/2, е2 = 2, lRy = е2/(2а") = 1.
Единица длины в обратном пространстве равна 2я/а (а - параметр решетки
кристалла); к = 2п/а(х, у, z), .причем xsZy^z; gn = 2n/a (А, В, С), где
А, В, С - целые числа. В этой системе единиц уравнение Шредингера для
электрона имеет вид
(Я - Е) Тк (г) ^ (- у2 + У (г) - Е) Тк (г) = 0. (1.5)
5. Общий принцип решения зонной задачи. Практически все
методы решения уравнений Шредингера (1.5) вытекают из одного подхода. А
именно, выбирается некоторая совокупность пробных (исходных) функций Ф*;
искомая функция Тк представляется в виде разложения по с неизвестными
коэффициентами В\, подлежащими определению,
Тк(г) = 2^Ф{(г). (1.6)
г
12 ГЛ. i. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОДНОЭЛЕКТРОПИОП ТЕОРИИ
Подставляя (1.6) в (1.5), умножая слева на Ф*, пптегрируя по всему
пространству, получаем систему уравнений для ВIе:
2(#д-7ЭДЯгк = 0, (1.7)
г
где
H}i= f Ф/ (г) НФ{ (г) d3r,
г т * С1'8)
sji=5(r);(r)Oi(r)d*r.
Необходимым п достаточным условием существования ненулевых решений
системы линейных однородных уравнений (1.7) является обращение
определителя системы в пуль:
del iHji - ESji\ = 0. (1.9)
Уравнение (1.9) называется секулярным уравнением, а детерминант, входящий
в (1.9) - секулярным детерминантом. Уравнение (1.9) выполняется только
для некоторых зпачений Е. Эти значения и есть искомые величины 7?(к).
Подставляя их в (1.7), можно определить коэффициенты В\, а по ним -
xFk(r).
На практике вид секулярного уравнения бывает весьма сложным, но общая
