Основы одноэлектронной теории твердого тела - Ястребов Л.И.
Скачать (прямая ссылка):
ZeVr) при r>R, где R - некоторый модельный радиус. Для него существуют
две характерных глубины ямы: нулевая, А = 0, и яма без скачка потенциала
при г = R, т. е. А = Ze2/R.
Здесь требуется небольшое отступление о терминологии. Модельный
псевдопотенциал, который мы используем, в литературе носит название
потенциала Хейне - Абаренкова [ 10, 46, 54]. Его частные случаи
называются псевдопотенциалами Ашкрофта {А =0) и Шоу (A = Ze*IR). При этом
мы имеем дело с так называемыми локальными потенциалами, но существует
множество нелокальных, для которых величины А и R зависят от орбитального
числа I.
Вернемся к построению потенциала псевдоатома (напомним, что псевдоатом -
это совокупность исходного и экранирующего потенциалов). Мы будем
исследовать форму потенциала псевдоатома в зависимости от предположенной
глубины ямы. Тем самым мы окажемся в состоянии проанализировать все
возможные формы псевдоатомов, представляемые в теории диэлектрического
экранирования.
Вычислим формфактор нашего модельного псевдопотенциала:
(3.43)
4я q (Ze2 - AR) cos qR -f- A sin qR
(3.44)
0
Подставляя (3.44), (3.43) в (3.25) и переходя в координатное
пространство, получаем для экранированного псевдопотенциала
§ 7. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ЭКРАНИРОВАНИЕ
95
И(tm)р (это - кристаллический одноузельный потенциал, т. е. потенциал
псевдоатома):
Рассматривая зависимость функции (3.45) от А, легко видеть, что имеются
еще два характерных значения глубины ямы:
Когда А=АВ, псевдоатом не имеет скачка при r = R, как и исходный
потенциал Шоу (табл. 1.1, № 4). Если А = Аеа, то Шкр(г) для г < R
тождественно обращается в нуль (см. № 2). По аналогии с термином
потенциал "пустого остова", используемым иногда для потенциала Ашкрофта,
мы вводим здесь термин потенциал "пустого атома", обозначая его первыми
буквами от английского "Empty Atom". Следует обратить внимание на
сходство псевдоатома с Аеа и того псевдопотенциала, который возникал в
рамках метода фазовых функций (2.99).
Если A-ANА, то функция И/кр(г) обращается в нуль при r>R, т. е. в этом
случае потенциал иона полностью экранирован (см. табл. 1.1, № 6).
Электроны вне этого псевдоатома ни притягиваются, ни отталкиваются от
него: электронейтральность достигнута уже в пределах сферы радиусом R.
Этот случай мы обозначаем как "нейтральный атом", используя первые буквы
слов "Neutral Atom".
При изменении А в пределах от - 00 до + 00 прямоугольная яма меняется от
бесконечно отталкивательной до бесконечно притягивающей, а псевдоатом
меняет форму, как это показано в табл. 1.1. Видно, что если А < Аеа, то
псевдоатом при г<Д содержит отталкивательную сердцевину, амплитуда
которой постепенно увеличивается с ростом А по абсолютной величине (табл.
1.1, № 1); при А> Ana отталкивание возникает во внешней области
псевдоатома и растет с ростом А (№ 7).
рркр (г) = - const
r /И(1 + Ъ) - Hs]e-dsh (ar), r<R,
7 1 [A, ch d + А (Ь sh d - ch d)] е~ат, г > R,
(3.45)
где
(3.46)
и обозначена глубина ямы для псевдопотенциала Шоу:
(3.47)
Аеа - Ай(1 + Ъ) 4,
A^ = Afi(l-bthd)-'.
(3.48)
(3.49)
96
ГЛ. 3. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
Необходимо отметить, что в реальном (не томас-фермиевском) экранировании
на "хвосте" каждого псевдоатома возникают фри-делевские осцилляции
заряда, не фигурирующие в данной модели.
Таблица 1.1. Потенциал иона и потенциал псевдоатома в зависимости от
модельной глубины
As
Неакранированный псевдопотенциал (ион)
Экранированный псевдопотенциал (псевдоатом)
- оо</) -
'НА
Г
.1
ЕЛ
¦""N-----------------------------------------------
/, А: -Л g 1
"\ 'V'-'nT
г> A s<A<Ana л г
с Л АЛ
7 Ил.А<И<°о / К
Качественные рассуждения, проведенные выше, принадлежат Шоу [172];
имеются и количественные данные, их подтверждающие. В частности,
экранированный по Томасу - Ферми псевдопотенциал Ашкрофта {А = 0) был
получен в [173] с помощью
§ 7. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ЭКРАНИРОВАНИЕ
97
прямого численного расчета. Там же этот псевдопотенцнал был экранирован
диэлектрической функцией в приближении Хартри, а затем был вычислен
соответствующий потенциал псевдоатома: результаты хорошо согласуются друг
с другом и с нашей качественной схемой (табл. 1.1). Отметим также работу
[174], в которой численно получены экранированные по Хартри локальные
псевдопотенциалы для двух значений А и форма получившегося псевдоатома
отвечает рисункам в табл. 1.1, №№ 3, 5. Интересно, что фриделевскпе
осцилляции псевдоатома не попали в рассмотренный в [174] диапазон
расстояний от начала координат.
Итак, мы применили модель Томаса - Ферми к диэлектрическому экранированию
модельного псевдопотенциала. Это не единственная возможность
использования метода Томаса - Ферми в теории твердого тела. В своей
классической формулировке1) метод Томаса - Ферми, будучи применен к
кристаллу, не дает минимума его полной энергии как функции от параметра
решетки. Однако учет обменного взаимодействия (метод Томаса - Ферми -
Дирака - Вейцзекера [175, 176], сокращеппо ТФДВ) спасает ситуацию.
