Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ярив А. -> "Оптические волны в кристаллах" -> 9

Оптические волны в кристаллах - Ярив А.

Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах — М.: Мир, 1987. — 616 c.
Скачать (прямая ссылка): opticheskievolnivkristalah1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 168 >> Следующая


2.1. СКАЛЯРНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Лазерный пучок представляет собой когерентное электромагнитное излучение. Поэтому его распространение должно определяться уравнениями Максвелла. Векторы поля E и Н, которые описывают распространение лазерного пучка, удовлетворяют векторным волновым уравнениям (1.4.7) и (1.4.8). Для пучков с малой угловой расходимостью и сред, показатель преломления которых слабо изменяется в поперечном направлении, векторное волновое уравнение сводится к скалярному [1]. Действительно, из (1.4.7) и (1.4.8) можно получить скалярное волновое уравнение, если предположить, что относительное изменение диэлектрической є и магнитной /X проницаемостей мало в масштабе длины волны излучения. В этом случае волновое уравнение (1.4.7) или (1.4.8) принимает вид

V2* = <2ЛЛ>

с2 dt2

где У — любая декартова составляющая полей E и Н, an = = cV/хє — показатель преломления. Лазерный пучок представляет собой излучение с высокой степенью монохроматичности. Поэтому естественно предположить, что временная зависимость поля имеет 32

Глава 1

Зеркало

Зеркало

_Л Ak

Активная среда

пучок

Z

R = 1

R< 1

РИС. 2.1. Схематическое изображение типичного лазера и генерируемого им пучка излучения.

вид у, Z, о = Re[E(x, у, z)e,Ld'\. При этом скалярное волновое уравнение (2.1.1) запишется в виде

учитывает зависимость показателя преломления п от координаты г. Уравнение (2.1.2) называется волновым уравнением Гельмголь-ца.

Большинство лазерных пучков, используемых в оптических исследованиях, имеют гауссово распределение интенсивности в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения. Среда, в которой распространяется лазерный пучок, во многих случаях имеет цилиндрическую симметрию относительно оси пучка. В частности, мы будем рассматривать линзоподобную среду, показатель преломления которой п = Vflfi//х0?0 изменяется по закону

где к 2 — некоторая постоянная, характеризующая среду, п0 — показатель преломления на оси симметрии, г — расстояние от оси, а к — волновое число (к = Iirn0/X). Поскольку фазовая задержка волны, прошедшей отрезок dz среды с показателем преломления п, равна (2irdz/\)n, очевидно, что тонкий слой среды, описываемой выражением (2.1.4), будет действовать как тонкая линза и создавать фазовый сдвиг, пропорциональный г2.

В случае среды с показателем преломления и, определяемым выражением (2.1.4), член K\r) в скалярном волновом уравнении Гельмгольца (2.1.2) принимает вид

V2E + K2E = О,

(2.1.2)

где величина

(2.1.3)

(2.1.4)

K2{r) = к2 - кк2г2.

(2.1.5) Распространение лазерных пучков 32

Кроме того, поскольку нас интересует решение, зависящее только от поперечной координаты г = Vx2 + у2, в уравнении (2.1.2) оператор V2 можно заменить на

, д2 д2 1 д д2

Иными словами, будем искать цилиндрически-симметричные решения скалярного волнового уравнения Гельмгольца (2.1.2).

Поскольку нас интересует распространение волн, которые незначительно отличаются от плоских и переносят энергию в основном вдоль одного направления (например, в направлении z), использование скалярного приближения для волнового уравнения правомерно. Подставляя в (2.1.2) выражение (2.1.5), выбирая E в виде

Е = Цх,у,г)е~ік', (2.1.7)

и предполагая, что амплитуда поля меняется достаточно медленно, т. е. величина SzIpZdz2 мала по сравнению с кф' или к2^, после несложных преобразований получаем

- 2ікф' - ккгг2ф = 0, (2.1.8)

где ф' = дфZдz¦

Поскольку мы ищем амплитуду пучка с цилиндрической симметрией, удобно ввести две комплексные функции P(г) и q (г) таким образом, чтобы ф можно было записать в виде

ф = ехр



(2.1.9)

Подставляя это выражение для ф в (2.1.8) и используя (2.1.6), можно записать следующее волновое уравнение:

- \^r2 - - - 2кР' - кк2'2 = 0, (2.1.10)

где штрих указывает на дифференцирование по z. Если уравнение (2.1.10) справедливо для любого г, то коэффициенты при различных степенях величины г должны обращаться в нуль. В результате имеем следующие соотношения:

'—і

3-631 34

Глава 1

Таким образом, для пучка с цилиндрической симметрией в линзопо-добной среде скалярное волновое уравнение (2.1.2) сводится к соотношениям (2.1.11).

2.2. ГАУССОВЫ ПУЧКИ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

Если пучок распространяется в однородной среде, то в выражении (2.1.5) следует положить к2 = 0. При этом соотношения (2.1.11) принимают вид

(штрихом обозначено дифференцирование по z). Вводя функцию и (z) с помощью соотношения

I = L^u

q и dz'

из уравнения (2.2.1) непосредственно имеем

—J = о.

dz2

Следовательно,

du ,

— = а, и = az + b, dz

или в соответствии с (2.2.2)

1 = а

q(z) az + b'

(2.2.2)

(2.2.3)

где а и b — произвольные постоянные. Выражение (2.2.3) можно переписать в виде

q = Z +q0, (2.2.4)

где qQ — постоянное комплексное число [q0 = q{0) = b/a]. Из уравнений (2.2.1) и (2.2.4) можно найти комплексную функцию P(Z):

і___

р - ~ ~q - z + q0 • (2.2.5) Распространение лазерных пучков

35

Интегрируя это выражение, получаем
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed