Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
2.1. СКАЛЯРНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Лазерный пучок представляет собой когерентное электромагнитное излучение. Поэтому его распространение должно определяться уравнениями Максвелла. Векторы поля E и Н, которые описывают распространение лазерного пучка, удовлетворяют векторным волновым уравнениям (1.4.7) и (1.4.8). Для пучков с малой угловой расходимостью и сред, показатель преломления которых слабо изменяется в поперечном направлении, векторное волновое уравнение сводится к скалярному [1]. Действительно, из (1.4.7) и (1.4.8) можно получить скалярное волновое уравнение, если предположить, что относительное изменение диэлектрической є и магнитной /X проницаемостей мало в масштабе длины волны излучения. В этом случае волновое уравнение (1.4.7) или (1.4.8) принимает вид
V2* = <2ЛЛ>
с2 dt2
где У — любая декартова составляющая полей E и Н, an = = cV/хє — показатель преломления. Лазерный пучок представляет собой излучение с высокой степенью монохроматичности. Поэтому естественно предположить, что временная зависимость поля имеет32
Глава 1
Зеркало
Зеркало
_Л Ak
Активная среда
пучок
Z
R = 1
R< 1
РИС. 2.1. Схематическое изображение типичного лазера и генерируемого им пучка излучения.
вид у, Z, о = Re[E(x, у, z)e,Ld'\. При этом скалярное волновое уравнение (2.1.1) запишется в виде
учитывает зависимость показателя преломления п от координаты г. Уравнение (2.1.2) называется волновым уравнением Гельмголь-ца.
Большинство лазерных пучков, используемых в оптических исследованиях, имеют гауссово распределение интенсивности в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения. Среда, в которой распространяется лазерный пучок, во многих случаях имеет цилиндрическую симметрию относительно оси пучка. В частности, мы будем рассматривать линзоподобную среду, показатель преломления которой п = Vflfi//х0?0 изменяется по закону
где к 2 — некоторая постоянная, характеризующая среду, п0 — показатель преломления на оси симметрии, г — расстояние от оси, а к — волновое число (к = Iirn0/X). Поскольку фазовая задержка волны, прошедшей отрезок dz среды с показателем преломления п, равна (2irdz/\)n, очевидно, что тонкий слой среды, описываемой выражением (2.1.4), будет действовать как тонкая линза и создавать фазовый сдвиг, пропорциональный г2.
В случае среды с показателем преломления и, определяемым выражением (2.1.4), член K\r) в скалярном волновом уравнении Гельмгольца (2.1.2) принимает вид
V2E + K2E = О,
(2.1.2)
где величина
(2.1.3)
(2.1.4)
K2{r) = к2 - кк2г2.
(2.1.5)Распространение лазерных пучков 32
Кроме того, поскольку нас интересует решение, зависящее только от поперечной координаты г = Vx2 + у2, в уравнении (2.1.2) оператор V2 можно заменить на
, д2 д2 1 д д2
Иными словами, будем искать цилиндрически-симметричные решения скалярного волнового уравнения Гельмгольца (2.1.2).
Поскольку нас интересует распространение волн, которые незначительно отличаются от плоских и переносят энергию в основном вдоль одного направления (например, в направлении z), использование скалярного приближения для волнового уравнения правомерно. Подставляя в (2.1.2) выражение (2.1.5), выбирая E в виде
Е = Цх,у,г)е~ік', (2.1.7)
и предполагая, что амплитуда поля меняется достаточно медленно, т. е. величина SzIpZdz2 мала по сравнению с кф' или к2^, после несложных преобразований получаем
- 2ікф' - ккгг2ф = 0, (2.1.8)
где ф' = дфZдz¦
Поскольку мы ищем амплитуду пучка с цилиндрической симметрией, удобно ввести две комплексные функции P(г) и q (г) таким образом, чтобы ф можно было записать в виде
ф = ехр
(2.1.9)
Подставляя это выражение для ф в (2.1.8) и используя (2.1.6), можно записать следующее волновое уравнение:
- \^r2 - - - 2кР' - кк2'2 = 0, (2.1.10)
где штрих указывает на дифференцирование по z. Если уравнение (2.1.10) справедливо для любого г, то коэффициенты при различных степенях величины г должны обращаться в нуль. В результате имеем следующие соотношения:
'—і
3-63134
Глава 1
Таким образом, для пучка с цилиндрической симметрией в линзопо-добной среде скалярное волновое уравнение (2.1.2) сводится к соотношениям (2.1.11).
2.2. ГАУССОВЫ ПУЧКИ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
Если пучок распространяется в однородной среде, то в выражении (2.1.5) следует положить к2 = 0. При этом соотношения (2.1.11) принимают вид
(штрихом обозначено дифференцирование по z). Вводя функцию и (z) с помощью соотношения
I = L^u
q и dz'
из уравнения (2.2.1) непосредственно имеем
—J = о.
dz2
Следовательно,
du ,
— = а, и = az + b, dz
или в соответствии с (2.2.2)
1 = а
q(z) az + b'
(2.2.2)
(2.2.3)
где а и b — произвольные постоянные. Выражение (2.2.3) можно переписать в виде
q = Z +q0, (2.2.4)
где qQ — постоянное комплексное число [q0 = q{0) = b/a]. Из уравнений (2.2.1) и (2.2.4) можно найти комплексную функцию P(Z):
і___
р - ~ ~q - z + q0 • (2.2.5)Распространение лазерных пучков
35
Интегрируя это выражение, получаем