Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
V-B = рш,
где рт — плотность магнитного заряда, а) Покажите, что напряженность магнитного поля, создаваемая точечным зарядом т в вакууме, определяется выражением
где г — вектор, измеряемый от точки расположения магнитного заряда. 28
Глава 1
б) Имеется электромагнитное поле, создаваемое точечным электрическим зарядом е с координатами (0, 0, d/2) й точечным магнитным зарядом т с координатами (О, О, -d/2). Плотность момента импульса поля дается выражением
L = г X P ,
где P — плотность импульса, приведенная в задаче 1.4. Определите полный момент импульса поля, интегрируя L по всему пространству. Ответ: - (ет/4т)г. Заметьте, что момент импульса не зависит от расстояния d.
в) Пусть начало системы координат выбрано в точке расположения магнитного точечного заряда. При этом электрический заряд расположен в точке с координатами (О, 0, d). Электрический заряд е перемещают из точки (О, О, d) в точку (0, 0, -d) по полуокружности. Определите необходимый момент силы и проинтегрируйте его по времени. Покажите, что момент импульса, необходимый для перемещения электрического заряда, равен — ет/2ж. Этот метод позволяет вычислить момент импульса более простым способом, чем прямое вычисление, предлагаемое в п. б.
1.6. Выражения (1.5.3) и (1.5.4) дают приближенное описание лазерного импульса. В среде без дисперсии эти выражения становятся точными. Если распределение по волновым числам А (к) известно, то вычисляя интеграл в (1.5.3), можно получить огибающую ?Ч?). Найдите огибающую ?(?), изобразите графически зависимости \А(к)\2 и IfT(?)12, определите стандартные отклонения Ak и Д? от средних и убедитесь в выполнении соотношения неопределенностей Гейзенберга AkA^ ^ 1/2 для каждого из приведенных ниже распределений А (к):
а) А (к) = Л (А'0) ехр [ — (к - к0) /Aq2). Это спектральное распределение соответствует гауссову импульсу и представляет собой минимальный волновой пакет, т. е AkAt, = 1/2-
б) А (к) = А (к0) ехр (- Iк - к0\/2д). Это спектральное распределение соответствует импульсу с лоренцевой формой.
в) А (к) = A (A:0)sin[(* - k0)/q]/[(k - к0)/д). Это спект- Электромагнитные поля
29
ральное распределение отвечает прямоугольному импульсу.
1.7. Одномерный лазерный импульс имеет центральную частоту W0 и соответствующее волновое число к0. Огибающая E(z — — v t) для электрического поля определяется следующим образом:
Ex = E(z - vgt)eK"°'-k°z).
Найдите огибающую для магнитного поля H и вычислите вектор Пойнтинга.
1.8. Дисперсия некоторого вещества описывается следующей зависимостью показателя преломления от частоты:
, . Г(<о - w0) »(«) = »о- -J—--Ї-
1 +(W-W0)
Найдите групповую скорость Vg импульса, распространяющегося в этой среде.
1.9. Если в разложении (1.5.2) частоты ы(к) в окрестности к0 можно пренебречь членами второго и высшего порядков, то огибающая лазерного импульса сохраняет свою форму. Рассмотрите случай, когда член второго порядка не является малым и его необходимо учитывать, в то время как членами высшего порядка можно пренебречь:
Найдите огибающую импульса со спектральным распределением А (к), приведенным в задаче 1.6а, и определите зависимость ширины огибающей от времени. При расчетах можно использовать следующий интеграл:
?* e-ia^ + ?X)dx= ^e*2/*'. зо
Глава 1
В этом интеграле вещественная часть параметра а должна быть положительной.
1.10. Пусть зависимость показателя преломления от длины волны излучения известна. Покажите, что групповую скорость (1.5.8) можно вычислить по формуле
_ _с_
Vg ~ п - \{dn/d\) ' -
1.11. Покажите, что коэффициент разложения в ряд Тейлора (1/2)(d2w/dk2) пропорционален дисперсии групповой скорости и что
dX gXcjdK2
1.12. Пусть E = Е0(г)е""г и H = Н0(г)е'шг являются решениями уравнений Максвелла.
а) Покажите, что уравнениям Максвелла удовлетворяют также комплексно-сопряженные величины Е* и Н*. Заметим, что E*, Н* и Е, H отвечают одному и тому же полю, поскольку физический смысл имеют лишь вещественные части этих величин.
б) Покажите, что комплексно-сопряженные волновые поля
Ec = Eq (г)е'ы(, Hc = Щ(г)е'ы(
также удовлетворяют волновому уравнению, при условии что среда не имеет потерь (т. е. ? и /х являются тензорами с вещественными элементами).
ЛИТЕРАТУРА
1. BornM., WoIfE., Principles of Optics. — New York: Macmillan, 1964. [Имеется перевод 2-го изд.: Борн M., Вольф Э. Основы оптики. — M.: Наука, 1970.]
2. Jackson J. D., Classical Electrodynamics. — New York: Wiley, 1962.
3. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — M.: Физмат-гиз, 1957. Глава 2
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ
Основная цель данной книги — показать, как происходит распространение лазерных пучков и каким образом можно управлять ими. На рис. 2.1 схематически изображен типичный лазер с двумя зеркалами и генерируемый им пучок излучения. В отличие от бесконечных плоских волн, рассмотренных нами в гл. 1, генерируемый лазером пучок ограничен в поперечном направлении и уширяется по мере распространения в направлении z¦ Понимание законов распространения таких пучков чрезвычайно важно для всех, кто имеет дело с исследованием или применением лазеров. Несмотря на то что этот вопрос рассматривался во многих учебниках, мы включили его в нашу книгу для полноты изложения и как справочный материал для дальнейшего использования.
