Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
7.4.2. АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ
Рассмотрим теперь случай, когда невозмущенные нормальные моды оказываются связанными благодаря наличию внешнего электрического поля. Это имеет место, когда в уравнениях (7.4.7) недиагональные матричные элементы возмущения не равны нулю, т. е. Arj12 ф 0. В этом случае при распространении волны в кристалле происходит обмен электромагнитной энергией между связанными модами. Поэтому величины модовых амплитуд являются функциями пространственных координат и времени. Модовые амплитуды удовлетворяют уравнениям связанных мод (7.4.7). Рассмотрим да-
РИС. 7.8. Образец LiNbO3 в виде прямоугольного стержня, используемый в качестве электрооптического кристалла для модуляции фазы. Модулирующее высокочастотное поле поляризовано вдоль оси г и распространяется вдоль оси у.Электрооптические устройства
271
(7.4.28)
лее случай чисто амплитудной модуляции, т. е. случай, когда Arj11 = Arj22 = 0. Это соответствует условию
'пА " 'и А = (7-4.26)
Снова предположим, что модулирующее поле имеет вид бегущей волны Emsin(o)m? - ктH. Тогда, согласно (7.1.2), возмущение тензора непроницаемости имеет вид
Дчп = ДЧ21 = r[lyEmysai(u>mt - к J), (7.4.27)
где Emy—7-составляющая электрического поля Е,„. Таким образом, уравнения связанных мод можно записать в виде
(щ+ = "Ич.' -(Ir + = ''"sin^' - kJUie-'<*'->*
где
_nj«L»r, Е (7А29)
и, + и2 с
причем подразумевается суммирование по 7. В случае когда Ji1 = = п2 = п, уравнения связанных мод принимают вид
(7.4.30)
(д д \
H +f Tt)A2=* - kmS)Al>
где
« = ~ П2уЕпу. (7-4-ЗІ)
Решения уравнений связанных мод (7.4.28) в общем случае («, Ф Ф п2) очень сложны, и мы не будем их здесь рассматривать. Запишем общее решение уравнений связанных мод для случая, когдаі 272
Глава 5
O = С,(?- ^jcos
KC
Чи(" - пт)
cos (umt - к J)
+ С,
(S-^t)sin
КС
ит(» ~ О
cos (umt - к J)
КС
Ч»(" - Пт)
КС
ит(П - Пт)
cos(wJ - к J)
cos (umt - к J)
(7.4.32)
здесь C1 и C2 — произвольные функции. Пусть граничные условия на входной (f = 0) грани кристалла имеют вид
Л,(0, t)=-A0, Л2(0,/) = 0.
(7.4.33)
Эти условия отвечают случаю, когда поляризатор на входе параллелен вектору d, (одной из невозмущенных главных осей).
Пусть в (7.4.32) f = 0. Тогда граничные условия (7.4.33) принимают вид
¦K')cos
КС
Чи(и - Пт)
COS Umt
+ С-
K')sin
КС
Чи(" - пт)
COS 03 „t
— Aq,
¦ (-f')sin
(7.4.34)
КС
cos
. Чи(" - "m)
-?(-!') r "
Отсюда находим С,(-^) = ^ocos
COS Wmt
ЧиО - "m)
COS Um t
= 0.
КС
С2(- J') =^0Sin
Чи(" - пт)
КС
- Пт)
COS Um t
COS umt
(7.4.35)Электрооптические устройства
273
Выражения (7.4.35) определяют функции C1 и C2 при f = 0. Поскольку C1 и C2 — произвольные функции разности f - (c/n)t, их можно записать в виде
с,(г - -?.) - - Tnf)
(7.4.36)
Подставляя выражения (7.4.36) в (7.4.32), для модовых амплитуд имеем
/) = A0Cos
<ь(п - пт) Lcos^' - kJ) ~ cosK' - Т^)]}'
A2iS' 0 = iA°aa{»m(n-nm) H4-' - Tlwf) - 0m^' - *-»]}•
(7.4.37)
Используя далее тригонометрическое тождество cos« - cos? = —2sin + ?)sm±(ct - ?)
и соотношение кт = (ыт/с)пт, модовые амплитуды на выходной (f = L) грани кристалла можно записать в виде
AX(L, t) = A0cos[Ssin(umt - ф)],
A2(L, t) = b40sin[asin(«„f - ф)];
где
S = к L
sin (n - njL
(7.4.38)
(7.4.39)
Чи 2 с
(п - пт)Ь
а ф определяется выражением (7.4.21)
Заметим, что в (7.4.39) величина <5 по своей зависимости от длины кристалла L аналогична- фазовой модуляции. Следовательно, все результаты, полученные при рассмотрении согласования фазовых скоростей в случае фазовой модуляции, применимы также для амплитудной модуляции. В частности, максимальная модуляция имеет место при выполнении условия (7.4.24), а максимальная глу-
18-631274
Глава 7
бина модуляции дается выражением
^--їіг^й'ьа'- і1ам>
Используя выражения, полученные в случае фазовой модуляции при п2, можно также прийти к выражениям (7.4.38). Таким образом, падающий световой пучок поляризован вдоль невозмущенной главной оси d,. При наличии возмущения новые нормальные моды для случая n, = п2 поляризованы в направлениях, которые составляют угол 45° с невозмущенными осями (см. первый пример в разд. 7.2). Падающую оптическую волну можно представить в виде линейной суперпозиции новых нормальных мод:
AdAl = j=-Ma\ + d'2), (7.4.41)
где dj и d2 — единичные векторы в направлениях поляризации новых нормальных мод. Эти составляющие затем претерпевают чисто фазовую модуляцию, поскольку связь между новыми нормальными модами отсутствует. Оптическую волну в выходной (f = L) плоскости можно записать в виде
-j=:A0{ d'1<?<«sb(»m<-*) + d^-.esm^-«.)^ (7.4.42)
где o определяется выражением (7.4.39). Эту амплитуду поля можно теперь представить в виде линейной комбинации невозмущенных нормальных мод. Пусть А[ и A2 — амплитуды новых нормальных мод, a A1 и A2 — амплитуды невозмущенных мод. Тогда амплитуды A1 и A2 даются выражениями