Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Лазерный импульс обычно характеризуют его центральной частотой W0 (или соответствующим волновым числом к0) и шириной полосы частот Дсо относительно со0 (или соответствующей шириной полосы в пространстве волновых чисел Ak). Рассмотрим эволюцию такого импульса во времени. Для этого разложим со (Ar) в ряд Тей- 24
Глава 1
лора в окрестности к0:
"(*) = "о+(^г)0(*-*о)+---. (1-5-2)
а затем подставим это разложение для со в интеграл (1.5.1), который, если пренебречь членами высшего порядка по к - Ar0, принимает вид
(k-k0)}dk. (1.5.3)
dw\
IkU'1
Этот интеграл зависит только от комбинации переменных [z — - (dw/dk)0t] и называется огибающей E[z - (du/dk\t]. Таким образом, амплитуду импульса можно записать в следующем виде:
</ю\ dk о'
(1.5.4)
Отсюда следует, что с точностью до общего фазового множителя лазерный импульс распространяется с сохранением своей формы (рис. 1.3) и со скоростью
(1.5.5)
dk! о'
которая называется групповой скоростью импульса. Это приближение правомерно только в случае, когда распределение А (к) имеет ярко выраженный пик при к0 и частота является медленноменяю-щейся функцией величины к в окрестности к0. Если плотность электромагнитной энергии лазерного импульса связана с квадратом модуля амплитуды, то очевидно, что в этом приближении групповая скорость представляет собой скорость переноса энергии (см. задачу 1 7) Следует заметить, что в случае импульсного излучения фазовая и групповая скорости, вообще говоря, различны, т. е. (du/dk)0 * со0/к0. Фазовая скорость, которая обычно превышает групповую, имеет тот же смысл, что и в случае плоской волны. Она совпадает со скоростью наблюдателя, находящегося на вершине или во впадине данной волны.
в оптике дисперсионные свойства среды обычно описываются с помощью показателя преломления п(ы), зависящего от частоты (или длины волны), при этом соотношение меаду и ик дается вы-
ражением
Ч W
к = п(и) — , і il , (1.5.6) Электромагнитные поля
25
-v z
РИС. 1.3. Схематическое изображение амплитуды поля, иллюстрирующее распространение волнового пакета в среде с дисперсией, определяемой выражением (1.5.2), в случае когда форма импульса остается неизменной.
где с — скорость света в вакууме. Фазовая скорость
v„ =
' n(«)
(1.5.7)
оказывается больше или меньше с в зависимости от того, меньше и (со) единицы или больше. Из (1.5.5) и (1.5.6) мы имеем следующее выражение для групповой скорости:
Va =
s п + w(dn/dw)
(1.5.8) 26
Глава 1
При нормальной дисперсии (dn/du > 0) групповая скорость меньше фазовой. Однако в областях аномальной дисперсии величина dn/dbi может быть большой и отрицательной. При этом групповая скорость сильно отличается от фазовой и иногда превышает скорость света с. Последний случай имеет место, только когда dn/du является большой отрицательной величиной. Это эквивалентно условию быстрого изменения частоты ш в зависимости от к, что делает наше приближение неприменимым. Следовательно, специальная теория относительности здесь не нарушается.
Мы видели, что лазерный импульс, распространяющийся в диспергирующей среде, будет сохранять свою форму, если справедливо приближение (1.5.2). В случае когда следующим членом более высокого порядка (1/2)(d2w/dk\(k - к0)2 нельзя пренебрегать, форма импульса не будет больше оставаться неизменной и в общем случае ширина импульса будет увеличиваться в процессе распространения. Уширение импульса можно'понять, если заметить, что групповая скорость V может различаться для каждой частотной составляющей лазерного импульса (дисперсия групповой скорости). Если спектральная ширина импульса равна Ak, то разброс в групповых скоростях имеет величину порядка
При распространении импульса следует ожидать его уширения в пространстве на величину порядка Avgt. Вопрос об уширении импульса мы еще раз рассмотрим в разд. 2.5 и задаче 1.9.
ЗАДАЧИ
1.1. Для сохранения заряда необходимо, чтобы плотность заряда в любой точке пространства была связана с плотностью тока в окружающем пространстве уравнением непрерывности
Выведите это уравнение из уравнений Максвелла.
1-2. Применяя теорему Гаусса к уравнениям Максвелла, найдите граничные условия для нормальных составляющих полей В
(1.5.9)
и D [выражения (1.1.8)1- Электромагнитные поля 27
1.3. Применяя теорему Стокса к уравнениям Максвелла, получите граничные условия (1.1.10) для тангенциальных составляющих E и Н.
1.4. Плотность импульса электромагнитного поля и максвеллов-ский тензор напряжений определяются выражениями соответственно
P = jue(E X Н),
Tij = SEiEj + IlHiHj - і8и(еЕ2 + /хЯ2). Выведите гидродинамическое уравнение
S-vr-r,
где F — сила Лоренца, действующая со стороны электромагнитного поля на распределение зарядов и токов,
F = рЕ + J X В.
В области, свободной от источников, скорость изменения плотности импульса поля равна силе, действующей на рассматриваемую область и определяемой максвелловским тензором напряжений.
1.5. Если магнитный монополь существует, то статическое магнитное поле, создаваемое магнитным зарядом, должно удовлетворять следующему уравнению:
