Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Для исследования свойств поверхностных мод рассмотрим полубесконечную периодическую многослойную диэлектрическую среду, состоящую из чередующихся слоев с различными показателями преломления. Пусть распределение показателя преломления имеет вид
(6.9.1)
(т = 0,1,2,...). Распространение элек громагни гных волн в периодических средах
227
РИС. 6.18. Полубесконечная периодическая слоистая среда.
Геометрия этой структуры изображена на рис. 6.18. Будем искать локализованные волны, которые могут распространяться в положительном направлении оси у. Поскольку структура является полубесконечной, нас будут интересовать только направляемые поверхностные волны. Ради определенности мы рассматриваем случай поверхностных ТЕ-мод, электрическое поле которых направлено вдоль оси л-. Распределение электрического поля (ТЕ) подчиняется волновому уравнению (6.4.8). Будем искать его решение в следующем виде:
a EK(z)e lKz — блоховская волна, определяемая выражением (6.2.25).
Для существования направляемой волны постоянная К в выражении (6.9.2) должна быть комплексной величиной, причем поле должно обращаться в нуль при г — °°. Это возможно только в слу-
z < О,
z > о,
(6.9.2)
где а — постоянная, величина qa дается выражением
(6.9.3) і 228
Глава 5
чае, когда постоянная распространения (ку) в периодической среде соответствует запрещенной зоне. Другое условие состоит в том, чтобы поле Е(х, у) и его производная dE/dz были непрерывны на границе раздела г = 0 со средой а. Используя выражение (6.9.25) и явное выражение для блоховской волны (6.2.25) при п = О, граничные условия на границе раздела z = o можно записать в виде
а = ап + Ьп,
0 0 (6.9.4)
qaa = -iku(a0 - b0),
где а0 и Ь0 определяются выражением (6.2.23а). Исключая из (6.9.4) величину а и используя (6.2.23а), получаем модовое условие для поверхностных волн:
А + В - е'КК 2A-B- е'
Ia = ---(6.9.5)
где Л и В даются выражением (6.2.12) для ТЕ-волн, а экспонента е'КА определяется выражением (6.2.22). Знак величины К выбран таким образом, чтобы ее мнимая часть была отрицательной. При этом в соответствии с (6.9.2) амплитуда поля экспоненциально убывает с увеличением г. Используя выражения (6.2.12), (6.2.24), (6.2.6) и (6.9.3), можно показать, что для данной частоты со обе части выражения (6.9.5) зависят от ку. Удовлетворяющие условию (6.9.5) значения к , для которых К является комплексной величиной, отвечают поверхностным волнам.
На рис. 6.19 приведены расчетные поперечные распределения поля ?(0, z) для некоторых типичных поверхностных волн. Очевидно, что энергия более или менее сконцентрирована в первых нескольких периодах полубесконечной периодической среды.Нетрудно показать, что
Энергия В первом периоде ,, -Ж1
= (1-е ),
Энергия во всей полубесконеч. периодич. структуре
(6.9.6)
где K1 > 0 — мнимая часть величины К. Вообще говоря, фундаментальная поверхностная волна имеет наибольшие значения K1 и, следовательно, наивысшую степень локализации. Может оказаться так, что фундаментальная поверхностная волна отвечает нулевой или первой запрещенной зоне. Это зависит от величины показателя преломления пи. Если п < H1 — случай, который представляет РИС. 6.19. Поперечное распределение поля для типичных поверхностных мод, направляемых поверхностью полубесконечной периодической стратифицированной среды [2]. а — основная мода; б — мода высшего порядка. Периодическая слоистая среда
РИС. 6.20. Расчетное поперечное распределение интенсивности основной поверхностной моды в периодической слоистой среде. Пунктирная кривая — распределение интенсивности, отвечающее свертке [7].
ХВоздуэс \
П
Лериодтеосая слоистая среда
РИС. 6.21. Фото участка слоистой среды, состоящей из чередующихся слоев GaAs и Al02Ga08As, полученное методом фазового контраста [7). Распространение элек громагни гных волн в периодических средах
231
практический интерес (пи — показатель преломления воздуха), то у фундаментальной поверхностной волны блоховский волновой вектор находится в первой запрещенной зоне.
Распределение поля в каждом периоде для любой моды аналогично распределению поля в предыдущем периоде с той лишь разницей, что амплитуда умножается на величину (- \ )'"е~к'х, где т — целое число, соответствующее т-й запрещенной зоне.
Электромагнитные поверхностные волны наблюдались в периодической слоистой структуре, состоящей из 12 пар чередующихся слоев Al0 2Ga0 8As толщиной 0,5 мкм на подложке из GaAs [7, 8]. При этих условиях для длины волны 1,15 мкм из модового условия (6.9.5) следует, что структура может направлять четыре поверхностные волны. Вообще говоря, при пи < H1 < п2 максимальное число поверхностных волн на данной частоте со равно т, причем тж < Re[^(co, kv = паш/с)Л] < (пг + 1)ж. На рис. 6.20 показано поперечное распределение интенсивности фундаментальной моды. Расчетное значение блоховского волнового числа равно
= <п + /(7.233 X IO"1) (6.9.7)
при ? = 3.357 (2ж/\).
РИС. 6.22. Измеренное поперечное распределение интенсивности поверхностной волны в слоистой среде длиной 15 мм. Горизонтальный масштаб соответствует 0,5 мкм на большое деление. Поверхность структуры отмечена стрелкой [7]. і 232
