Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
J • E = E • (V X Н) - E • -д-
dt "
(1.2.1)
С помощью векторного тождества
V • (Е X Н) = H • (V X Е) - E • (V X Н)
(1.2.2) 14
Глава 1
и уравнения (1.1.1) правую часть выражения (1.2.1) можно представить в виде
J-E=-V(ExH)-H--E-?? (1-2.3)
ot dt '
Если теперь предположить, что рассматриваемая среда обладает линейными электромагнитными свойствами (т. е. є и ц не зависят от напряженности поля), то (1.2.3) принимает вид
!+VS=-J-E1 (1.2.4)
где U и S определяются следующими выражениями:
[/ = HE-D + B-H), (1.2.5)
S = EXH. (1.2.6)
Скалярная величина U представляет собой плотность энергии электромагнитного поля и имеет размерность джоуль на кубический метр (Дж/м3). Вектор S является потоком энергии и называется вектором Пойнтинга; он имеет размерность Дж/(м2-с). Величина ISI- это мощность, переносимая полем через единичную площадку в направлении вектора S и имеющая размерность ватт на квадратный метр (Вт/м2). Таким образом, величина V ¦ S представляет собой результирующий поток электромагнитной мощности из единичного объема. Соотношение (1.2.4) известно как уравнение непрерывности или сохранения энергии (теорема Пойнтинга). Аналогичным образом можно получить законы сохранения импульса для, электромагнитных полей. Мы предлагаем читателю вывести их самостоятельно в качестве упражнения (задача 1.4).
1.3. ФОРМАЛИЗМ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИЙ
В оптике обычно имеют дело со стационарными полями, изменяющимися во времени по синусоидальному закону. Такими свойствами обладает, например, лазерное излучение. При этом векторное поле удобно представлять в виде комплексной функции. Рассмотрим некоторую составляющую векторного поля
a(t) = H|cos(«r + а), (1.3.1)
где W — угловая частота, а а — фаза. Определим комплексную амплитуду поля a(t) следующим образом:
Л = \А\е". (1.3.2) Электромагнитные поля
15
При этом выражение (1.3.1) можно записать в виде
e(0-ReMe""]. (І-3-3)
В дальнейшем вместо выражений (1.3.1) или (1.3.3) мы часто будем пользоваться следующей записью для а (/):
a(t) = Aeia' (1.3.4)
Такое представление не совсем корректно; всякий раз, используя эту запись, мы будем подразумевать, что так же, как и в выражении (1.3.4), необходимо взять вещественную часть величины Аехр(/шГ). В большинстве случаев представление полей в комплексном виде (1.3.4) не вызывает затруднений при выполнении таких линейных математических операций, как дифференцирование, интегрирование, суммирование и т. д. Исключение составляют случаи, когда приходится вычислять произведения (или степени), например при расчете плотности энергии и вектора Пойнтинга. В таких случаях необходимо пользоваться записью физических величин в вещественной форме.
В качестве примера вычислим произведение двух синусоидальных функций а (/) и Ь (/), где
a(t) - |,4|cos(«f + a) = Rе[Аеіш] (1.3.5)
b{t) = |B|cos(«f + ?) = RefSe""],- (1.3.6)
причем А - IA I е'" и B = IBle'13. При использовании вещественных функций имеем
a{t)b(t) = i|^S|[cos(2wr + а + ?) + cos(a - ?)]. (1.3.7)
Но если вычислять произведение a(t)b(t) в комплексном представлении этих функций, то мы получим
a(t)b(t) = ABei2ut = \AB\ei(2u,+a+?). (!-3-8)
Сравнивая это выражение с (1.3.7), видим, что в нем отсутствует не зависящий от времени член (1/2) IAff I cos (а - ?). Таким образом, использование комплексной формы записи приводит к ошибке, которая возникает из-за того, что в общем случае произведение вещественных частей двух комплексных чисел не равно вещественной части произведения этих двух комплексных чисел. Иными словами, если X и у — два произвольных комплексных числа, то в общем 16
Глава 1
случае
Re[jc]Re[.y] * Rc[xy). (1-3.9)
1.3.1. УСРЕДНЕНИЕ ПО ВРЕМЕНИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Оптические поля являются быстроменяющимися функциями времени. Например, период изменения поля во времени при длине волны X = 1 мкм (один микрометр) равен T = Х/с = 0,33-IO-14 с. Во многих случаях интерес представляют не мгновенные, а усредненные по времени значения физических величин, например, таких, как вектор Пойнтинга и плотность энергии. Поэтому часто приходится вычислять среднее по времени от произведения двух синусоидальных функций некоторой частоты:
(a(t)b(t)} = ^ [T\Afcos(wt + a)|.o|cos(«f + ?) dt; (1.3.10)
і J0
здесь a{t) и b(t) даются выражениями (1.3.5) и (1.3.6), T = Ък/ш — период осцилляции, а скобки означают усреднение по времени. Поскольку интеграл в (1.3.10) является периодической функцией с периодом Т, усреднение можно производить по интервалу времени Т. Используя (1.3.7) и учитывая, что среднее по T от члена, содержащего cos(2uf + а + ?), равно нулю, получаем
(a(t)b(t)) = ІИЯ|со8(а - ?). (1.3.11)
Последнее выражение можно записать через комплексные амплитуды А и В, определенные из (1.3.6):
(a(t)b(t)) = |Re[/L8*], (1.3.12)
или непосредственно через аналитические функции a(t) и b (t):
<Ae[a(0]*e[6(0]> = jRe[a(/)H0L (1-3.13)
где звездочкой обозначено комплексное сопряжение. Правая часть выражения (1.3.13) не зависит от времени, поскольку a(t) и b(t) имеют одинаковую временную зависимость е'ш. Выражения (1.3.12) и (1.3.13) имеют важное значение, и мы будем часто использовать их на протяжении всей книги.
