Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Дт) = -/t)[G]t). (4.12.10)
Матричные элементы величины Ai) даются выражениями
Ьчи = Ьц22 = 0, л iG
Дт>12 = TT' "Г«2
ю
(4.12.11)
Дт)
21
2„2
ЛГЛ
1"2 Распространение электромагнитных волн в анизотропных средах
123
Таким образом, матрицу показателей преломления N можно записать следующим образом:
N =
iG
"і iG
H1 + п 2
H1 + И 2
и?
(4.12.12)
Согласно определению, распространяющиеся нормальные моды должны иметь четко определенные состояние поляризации и волновое число. Иными словами, нормальную моду можно представить в виде
D = de-'« (4.12.13)
Подставляя выражение (4.12.13) для D в уравнение движения
(4.12.14)
д и
^zD = —i—ND,
Oi с
получаем
JVd = «d; (4.12.15)
здесь мы учли, что к = (со/с)л.
Таким образом, мы показали, что состояние поляризации d нормальной моды должно быть собственным вектором матрицы показателей преломления N. Собственное значение этой матрицы дает показатель преломления, отвечающий распространению нормальных мод. Из (4.12.15) и (4.12.12) мы имеем следующее характеристическое уравнение для и:
G2
(п - и,)(я -H2)= .
(и, + п2)
Корни уравнения (4.12.16) записываются в виде
и, + и, п = —--
(и, + U2)
(4.12.16)
(4.12.17)
Соответствующие векторы Джонса для состояния поляризации нормальных мод даются выражением 124
Глава 4
J± =
(4.12.18)
Этот результат совпадает с выражением (4.9.25), полученным в
разд. 4.9.
ЗАДАЧИ
4.1. Состояния поляризации.
а) Получите выражение для состояния поляризации вектора электрического поля, определяемого выражениями (4.2.9) и (4.2.11).
б) Используя соотношение D = еЕ, получите выражение для соответствующих состояний поляризации вектора электрического смещения D.
в) Пусть и, и л2 — решения уравнения Френеля (4.2.10), а E1, E2, D1 и D2 — соответствующие собственные векторы поля. Вычислите скалярные произведения E1-E2 и D1-D2 и покажите, что D1 и D2 всегда взаимно ортогональны, a E1 и E2 взаимно ортогональны только в одноосном кристалле или изотропной среде.
г) Покажите, что E1-D2 = 0 и E2-D1 = 0.
4.2. Уравнение Френеля.
а) Выведите уравнение Френеля (4.2.10) непосредственно из уравнения (4.2.8).
б) Покажите, что уравнение Френеля представляет собой следующее квадратичное уравнение относительно п2:
An4 + Bn2 + C = 0,
и получите выражения- для А, В и С.
в) Покажите, что в случае чистых диэлектриков с вещественными Ex, Ey, Ez выполняется соотношение B2 — - 4АС > 0.
г) Выведите (4.5.1) из уравнения (4.2.8) в случае одноосных кристаллов.
д) Покажите, что в случае изотропной среды уравнение (4.2.8) сводится к Распространение электромагнитных волн в анизотропных средах
125
-(-)2 = 0. е0\ с )
4.3. Скорость переноса энергии и групповая скорость. При выводе равенства (4.4.14) мы предполагали, что E и H являются вещественными. На самом деле уравнения Максвелла (4.4.4) и (4.4.5) записаны для комплексных полей. Поэтому вектор Пойнтинга S и плотность энергии U должны определяться комплексными выражениями (1.3.14) и (1.3.15). Покажите, что равенство (4.4.14) справедливо также для комплексных амплитуд полей E и Н.
4.4. Групповая и фазовая скорости.
а) Найдите выражение для групповой скорости необыкновенной волны в одноосном кристалле в зависимости от полярного угла в волнового вектора.
б) Выведите выражение для угла а между фазовой и групповой скоростями. Этот угол является также углом между векторами EhD.
в) Покажите, что при в = 0 и ж/2 мы имеем а = 0. Определите угол в, при котором угол а является максимальным, и получите выражение для атах. Вычислите угол атах для кварца при п0 = 1,544 и пе = 1,553.
г) Покажите, что при п0 ~ пе величина атах достигается при в ~ 45° и что атах пропорциональна величине
4.5. Распространение света в двуосных кристаллах. Двуосные кристаллы характеризуются тремя главными показателями преломления и, < п2 < пу
а) Покажите, что сечение нормальной поверхности любой координатной плоскостью состоит из эллипса и окружности.
б) Покажите, что эти эллипс и окружность пересекаются лишь в плоскости XZ . Эти точки пересечения определяют оптические оси кристалла.
в) Найдите точки пересечения эллипса и окружности в плоскости хг и получите выражение (4.8.4) для угла 9 между одной из оптических осей и осью Z. Покажите, что этот угол обращается в нуль при = п2. Вычислите этот угол для слюды при и, = 1,552, п2 = 1,582 и «3 = 1,588.
г) Угол конической рефракции можно оценить по углу между нормальными векторами эллипса и окружности в і 125 Глава 5
точке их пересечения. Получите выражение (4.8.8).
д) Покажите, что этот конический угол обращается в нуль при и, = п2 (или п2 — и3). Вычислите величину этого конического угла для слюды.
е) Покажите, что поворот на угол ±х в плоскости ?'f преобразует уравнение конуса (4.8.9) к виду
Сечение этого конуса плоскостью = const представляет собой окружность.
Призменные поляроиды. Двойное лучепреломление в анизотропных кристаллах можно использовать для поляризации света. Рассмотрим пучок света, падающий на плоскую границу кальцита с внутренней стороны (п0 = 1,658, пе = = 1,486), и предположим, что ось кристалла перпендикулярна плоскости падения.
