Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ярив А. -> "Оптические волны в кристаллах" -> 32

Оптические волны в кристаллах - Ярив А.

Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах — М.: Мир, 1987. — 616 c.
Скачать (прямая ссылка): opticheskievolnivkristalah1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 168 >> Следующая

с iG
2п? п2

Согласно определению, распространяющаяся нормальная мода имеет единственную постоянную распространения и единственное состояние поляризации. Иными словами, нормальную моду можно записать следующим образом:

E = ее

-iki

(4.11.18)

Подставляя выражение (4.11.18) для E в уравнение (4.11.15), это дифференциальное уравнение можно свести к следующему компактному алгебраическому уравнению:

Ke = /се.

(4.11.19)

Уравнение (4.11.19) представляет собой характеристическое уравнение. Отсюда следует, что поляризационные векторы нормальных мод являются собственными векторами волновой матрицы Ke с собственными значениями, отвечающими волновым числам распространяющихся мод. Пусть к = (ш/с)п, где п требуется определить. Тогда из (4.11.17) и (4.11.19) получаем характеристическое уравнение

iG_ Ini

0, (4.11.20)

п, - п -

iG 2/1,

я, - п

или

("і - я)(и2 - и)

4п]п2 '

(4.11.21) 120

Глава 4

Корнями уравнения (4.11.21) являются показатели преломления для нормальных мод:

я, + h1 il ti1 - til \2 G2

»- -lT1 ± V ("Vі)(4ЛЬ22)

Таким образом, волновые числа нормальных мод можно записать в виде

где Ak определяется выражением (4.11.11).

Соответствующие независимые векторы поляризации нормальных мод можно получить, если подставить (4.11.23) в уравнение (4.11.19):

е =

I1- Tl \

iG 2 п0

(4.11.24)

Здесь п дается выражением (4.11.22). При Ti2^nl выражение (4.11.24) согласуется с (4.9.25). Важно иметь в виду, что в анизотропной среде состояния поляризации для вектора электрического поля E и вектора электрического смещения D, вообще говоря, различны. Выражения (4.11.23) и (4.11.24) для вектора электрического поля получены в предположении, что продольная составляющая у него отсутствует, а выражения (4.9.24) и (4.9.25) получены для вектора смещения D. В следующем разделе мы выведем уравнение движения, описывающее эволюцию вектора D.

4.12. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ

ДЛЯ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯРИЗАЦИИ

В предыдущем разделе мы получили матричное уравнение (4.11.15), описывающее эволюцию вектора электрического поля E при условии, что его продольная составляющая пренебрежимо мала. Теперь мы выведем уравнение движения для вектора электрического смещения D, который всегда перпендикулярен направлению распространения. Будем исходить из волнового уравнения (1.4.2) и воспользуемся соотношением (4.3.3), чтобы выразить E через D. Тогда можно записать следующее волновое уравнение:

VX(VX4D)-(I)2D = O. (4.12.1) Распространение электромагнитных волн в анизотропных средах

121

Поскольку нас интересует состояние поляризации волны, распространяющейся вдоль направления s, дифференциальный оператор V можно заменить на sd/df. При этом волновое уравнение (4.12.1) принимает вид

SX Js X -^dJ - (f)2D = 0. (4.12.2)

Мы будем использовать здесь систему координат, введенную в разд. 4.3, в которой вектор s определяет направление третьей оси. В этой системе координат волновое уравнение записывается следующим образом:

д2 /ы\2

^d=-It)0' (4л2-3)

где у), — поперечный тензор непроницаемости 2x2, определяемый выражением (4.3.7). Введем 2х 2-матрицу N следующим образом:

N2Tjl = 1. (4.12.4)

Умножая (4.12.3) слева HaN2 и используя (4.12.4), получаем

4D--(-)VD. (4.12.5)

ді2 Ус)

Это дифференциальное уравнение эквивалентно следующей системе двух линейных дифференциальных уравнений:

(4.12.6)

-D = і—NT). (4.12.7)

CfS с

Матрица N называется матрицей показателей преломления и в случае изотропной среды сводится к показателю преломления п. Поскольку мы используем зависимость от времени вида е'ш, уравнение (4.12.6) соответствует волне, распространяющейся в направлении + Г» а уравнение (4.12.7) отвечает распространению волны в направлении — f. Используем теперь уравнение (4.12.6) для описания эволюции состояния поляризации в среде, характеризуемой матрицей показателей преломления N.

Рассмотрим случай, когда существует внешнее (или внутреннее) возмущение, такое, как механическое напряжение, магнитное поле, 122

Глава 4

электрическое поле или оптическая активность. Пусть индексы 1 и 2 отвечают нормальным модам, распространяющимся в отсутствие этих возмущений. Тогда тензор диэлектрической непроницаемости i)t можно записать в виде

V1 =



О

\

+ Дт),

(4.12.8)

где Ar/ представляет собой возмущение. Если величина Arj мала, то для N можно получить явное выражение непосредственно из определения этой матрицы и выражения (4.12.8):

і і \

N

2„2



лгл

1"2

Л, + Л;



2„2

ЛГИ

1 2

Л, + Л2



л2 - їл32Дт)22

(4.12.9)

Поскольку i)t — эрмитов тензор, эрмитовой является и матрица показателей преломления N. Если матрица N известна, то уравнение (4.12.6), если заданы начальные условия для состояния поляризации, имеет однозначное решение. Распространяющиеся нормальные моды можно найти путем диагонализации матрицы показателей преломления при наличии возмущения.

Определим распространяющиеся нормальные моды в оптически активной среде. Пусть величина A-q описывает влияние оптической активности. В соответствии с (4.9.20) эту величину можно записать в виде
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed