Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения Максвелла образуют систему дифференциальных уравнений в частных производных, связывающую четыре основных вектора электромагнитного поля: Е, Н, D и В. Для однозначного определения векторбв поля по заданному распределению токов и зарядов эти уравнения следует дополнить соотношениями, учитывающими взаимодействие электромагнитного поля с веществом. Такими соотношениями являются материальные уравнения
В этих уравнениях параметры є и р, характеризующие среду, представляют собой тензоры второго ранга, называемые соответственно тензором диэлектрической проницаемости (диэлектрическим тензором) и тензором магнитной проницаемости; P и M — векторы электрической и магнитной поляризации, а е0 и ц0 — диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума соответственно. Для изотропной среды указанные тензоры сводятся к скалярным величинам. Во многих случаях величины ? и ц можно считать независи-
D = eE = в0Е + P
(1.1.5)
В = /tH = ц0Н + М.
(1.1.6) Электромагнитные поля
11
мыми от напряженности полей. Однако для достаточно сильных полей, таких, например, как поля, возникающие при фокусировке лазерного пучка или при облучении электрооптического кристалла сильным электрическим полем, следует учитывать зависимость этих величин от E и Н. Такие нелинейные оптические эффекты мы рассмотрим в гл. 7 и 12.
1.1.2. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Решения уравнений Максвелла можно получить в областях пространства, в которых є и ix непрерывны. В оптике же нередко приходится решать задачи, когда физические свойства среды (характеризуемые величинами є и д) резко изменяются при пересечении одной или нескольких гладких поверхностей. Векторы Е, Н, D и В в некоторой точке по одну сторону от гладкой поверхности, разделяющей две среды, связаны с векторами Е, Н, D и В в соседней точке на противоположной стороне от границы раздела граничными условиями, которые выводятся непосредственно из уравнений Максвелла.
Рассмотрим очень короткий цилиндр, пересекающий поверхность раздела, как показано на рис. 1.1, а. Верхнее и нижнее основания цилиндра расположены в областях 1 и 2 и параллельны поверхности раздела. Высота цилиндра предполагается бесконечно малой, поэтому его основания оказываются расположенными сколь угодно близко от границы раздела. Применение известной теоремы
« ь
РИС. 1.1. а — короткий цилиндр, пересекающий границу раздела между двумя средами; S — поверхность цилиндра; б — узкий прямоугольный коитур, пересекающий границу раздела между двумя средами; С — граница этого контура. 12
Глава 1
Гаусса — Остроградского
J V • ?dv = JF . ds
(1.1.7)
к обеим частям уравнений (1.1.3) и (1.1.4) дает п • (B2 — B1) = О,
(1.1.8а)
H-(D2-D1) = O,
где п — единичный вектор, перпендикулярный поверхности раздела и направленный из среды 1 в среду 2, а — поверхностная плотность заряда (Кл/м2), а индексами отмечены величины на поверхности, относящиеся к какой-либо из двух сред. Граничные условия (1.1.8а) обычно записывают в виде
где Bbl = B2 n, Bu = Bj-n,D^1 = D2 n, a Dln = D1-п. Иными словами, нормальная составляющая магнитной индукции В всегда непрерывна, а нормальные составляющие электрического смещения D претерпевают скачок, равный по величине поверхностной плотности заряда.
Рассмотрим малый, узкий прямоугольный замкнутый контур, охватывающий часть границы раздела (рис. 1.1,6). Длинные стороны прямоугольного контура расположены в областях 1 и 2 и параллельны границе раздела. Поскольку ширина контура предполагается бесконечно малой, длинные его стороны оказываются расположенными сколь угодно близко к границе. Применяя теорему Стокса
к обеим частям уравнений (1.1.1) и (1.1.2), имеем HX(E2-E1) = O, (1ЛЛОа,
n X (H2 - H1) = К,
где К — поверхностная плотность тока (ампер на метр, А/м). Граничные условия для векторов электрического и магнитного поля (1.1.10а) часто записывают также в виде
В2 п = В1п,
D2n - Du = о,
(1.1.86)
(1.1.9)
(1.1.106) Электромагнитные поля
13
где индексом t обозначены тангенциальные составляющие векторов поля. (Примечание. Составляющие этих векторов, касательные к поверхности раздела, являются также векторами, лежащими в плоскости, касательной к этой поверхности.) Иными словами, тангенциальная составляющая вектора электрического поля E всегда непрерывна на границе раздела, а разность между тангенциальными составляющими вектора магнитного поля H равна поверхностной плотности тока К.
Во многих задачах оптики часто реализуется ситуация, когда поверхностная плотность зарядов а и поверхностная плотность тока К обращаются в нуль. В этих случаях тангенциальные составляющие полей E и Н, а также нормальные составляющие DhB непрерывны при пересечении границы, разделяющей среды 1 и 2. Эти граничные условия играют важную роль при решении многих задач оптики, связанных с распространением волн, например при изучении оптических волноводов и распространения волн в слоистых средах.
1.2. ТЕОРЕМА ПОЙНТИНГА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Сохранение энергии электромагнитного поля требует, чтобы сумма скоростей изменения энергии электромагнитного поля во времени, содержащейся в некотором объеме, и изменения энергии за счет вытекания через поверхность, ограничивающую этот объем, были равны отрицательной полной работе, совершенной полями над источниками внутри данного объема в единицу времени. Работа, совершаемая в единицу времени внешним электромагнитным полем над точечным зарядом q, равна gv Е, где v — скорость заряда. Магнитное поле не совершает работы над точечным зарядом, поскольку магнитная сила всегда перпендикулярна скорости заряда. В случае распределенных зарядов и токов работа, совершаемая полями в единицу времени в единичном объеме, равна J • E. Существует уравнение непрерывности, описывающее этот баланс энергии. Выведем это уравнение, исходя из уравнений Максвелла. Используя (1.1.2), работу электромагнитных полей в единичном объеме за единицу времени можно записать следующим образом:
