Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
4.3. ЭЛЛИПСОИД ПОКАЗАТЕЛЕЙ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
Поверхность постоянной плотности энергии Ue в пространстве векторов D определяется уравнением (4.1.7) и имеет вид
D1x D2 D2
+ — + — = IUe,
?* ?г
где ex, ey и ez — главные диэлектрические проницаемости. Заменяя величину HNlUe на г и определяя главные показатели преломления пх, пу и пг следующим образом: nf = е/е0 (/' = х, у, z), последнее уравнение можно переписать в виде
2 2 2 X V Z
- + =4 + -=1. (4.3.1)
п п п
X ly 1ZРаспространение электромагнитных волн в анизотропных средах
87
Это общее уравнение эллипсоида, главные оси которого параллельны направлениям х, у иг, а их длины равны соответственно 2 пх, 2nv, Inz. Такой эллипсоид называют эллипсоидом показателей преломления или оптической индикатрисой. Эллипсоид показателей преломления используется в основном для определения двух показателей преломления и двух соответствующих направлений вектора D, отвечающих двум независимым плоским волнам, которые могут распространяться вдоль произвольного направления s в кристалле. Этот метод состоит в том, что сначала находят эллипс пересечения плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной направлению распространения s, с эллипсоидом показателей преломления (4.3.1). Две оси этого эллипса имеют длины 2л, и In2, где л, и л2— два значения показателя преломления, представляющие собой решения уравнения (4.2.10). Эти оси параллельны соответственно векторам D1 и D2, отвечающим двум допустимым решениям (рис. 4.2).
Для того чтобы убедиться в том, что эта процедура формально эквивалентна методу, описанному в предыдущем разделе, введем тензор непроницаемости rj. :
где е-1 — тензор, обратный диэлектрическому тензору ?. Используя это определение, можно записать следующее соотношение между векторами EhD:
Подстановка выражения (4.3.3) для E в волновое уравнение (4.2.5) приводит к уравнению
Ч0 = ео(е %-
(4.3.2)
E = —tjD.
En
О
(4.3.3)
S X [s X tjD] + — D = 0,
(4.3.4)
л
S
РИС. 4.2. Метод эллипсоида показателей преломления. Внутренний эллипс представляет собой сечение эллипсоида показателей преломления плоскостью, перпендикулярной вектору s.88
Глава 4
где мы использовали определение к = п (w/c)s (s — единичный вектор в направлении распространения). Поскольку вектор D всегда перпендикулярен направлению распространения (s • D = 0), удобно использовать новую систему координат, одна из осей которой выбрана вдоль направления распространения волны. Две другие оси обозначим индексами 1 и 2. В такой системе координат единичный вектор S дается выражением
(°\
S= Oj, (4-3.5)
а волновое уравнение (4.3.4) принимает вид
(4.3.6)
Поскольку S-D = 0, третья составляющая вектора D всегда равна нулю. Элементы тензора т/13, т/23 можно опустить и ввести тензор поперечной непроницаемости rj, следующим образом:
т,=(4" 412V (4.3.7)
\1J21 422) V У
При этом волновое уравнение принимает вид J
п
V1 - — ID = 0, (4.3.8)
где D — вектор электрического смещения.
Векторы поляризации нормальных мод являются собственными векторами тензора поперечной непроницаемости с собственными значениями I/«2. Поскольку т— симметричный тензор второго ранга, он имеет два ортогональных собственных вектора. Эти два собственных вектора D1 и D2 отвечают двум нормальным модам распространения с показателем преломления и, и п2 соответственно.
Пусть ?2, ?3 — координаты произвольной точки в новой системе координат. Эллипсоид показателей преломления в этой системе координат определяется выражением
Vafiiaifi=1. (4.3.9)
где мы предполагаем суммирование по повторяющимся индексам а, ? (1, 2, 3). Подставляя в (4.3.9) ?3 = 0, получаем эллипс сеченияРаспространение электромагнитных волн в анизотропных средах
89
этого эллипсоида плоскостью (?3 = 0), проходящей через начало координат и перпендикулярной направлению распространения. Таким образом, мы имеем следующее уравнение для эллипса в сечении:
Чпі? + ЧаЙ + 2Ч,2$,{2 = 1. (4.3.10)
Коэффициенты в уравнении (4.3.10) образуют тензор поперечной непроницаемости t)t. Следовательно, собственные векторы этого тензора второго ранга направлены вдоль главных осей эллипса сечения. В соответствии с (4.3.8) значения п определяются длинами главных осей. Это доказывает эквивалентность метода эллипсоида показателей преломления и метода, описанного в предыдущем разделе.
4.4. ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ, ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ И СКОРОСТЬ ПЕРЕНОСА ЭНЕРГИИ
Нормальная поверхность (поверхность постоянной ш в пространстве к), описываемая уравнением (4.2.8), содержит информацию как о фазовой, так и о групповой скорости. Фазовая скорость плоской волны по определению равна
yP = Js- (4.4.1)
Групповая скорость волнового пакета дается выражением vg=Vkw(k), (4.4.2)
а скорость переноса энергии определяется следующим образом:
V = S (4.4.3)
eU'
где S — вектор Пойнтинга, a U — плотность энергии. По определению групповая скорость Vg является вектором, перпендикулярным нормальной поверхности. В разд. 1.5 мы показали, что групповая скорость представляет скорость переноса энергии при распространении лазерного импульса в диспергирующей среде. Ниже мы увидим, что групповая скорость волнового пакета, распространяющегося в анизотропной среде, также описывает перенос энергии, т. е. vg = ve.