Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ярив А. -> "Оптические волны в кристаллах" -> 23

Оптические волны в кристаллах - Ярив А.

Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах — М.: Мир, 1987. — 616 c.
Скачать (прямая ссылка): opticheskievolnivkristalah1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 168 >> Следующая


4.3. ЭЛЛИПСОИД ПОКАЗАТЕЛЕЙ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

Поверхность постоянной плотности энергии Ue в пространстве векторов D определяется уравнением (4.1.7) и имеет вид

D1x D2 D2

+ — + — = IUe,

?* ?г

где ex, ey и ez — главные диэлектрические проницаемости. Заменяя величину HNlUe на г и определяя главные показатели преломления пх, пу и пг следующим образом: nf = е/е0 (/' = х, у, z), последнее уравнение можно переписать в виде

2 2 2 X V Z

- + =4 + -=1. (4.3.1)

п п п

X ly 1Z Распространение электромагнитных волн в анизотропных средах

87

Это общее уравнение эллипсоида, главные оси которого параллельны направлениям х, у иг, а их длины равны соответственно 2 пх, 2nv, Inz. Такой эллипсоид называют эллипсоидом показателей преломления или оптической индикатрисой. Эллипсоид показателей преломления используется в основном для определения двух показателей преломления и двух соответствующих направлений вектора D, отвечающих двум независимым плоским волнам, которые могут распространяться вдоль произвольного направления s в кристалле. Этот метод состоит в том, что сначала находят эллипс пересечения плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной направлению распространения s, с эллипсоидом показателей преломления (4.3.1). Две оси этого эллипса имеют длины 2л, и In2, где л, и л2— два значения показателя преломления, представляющие собой решения уравнения (4.2.10). Эти оси параллельны соответственно векторам D1 и D2, отвечающим двум допустимым решениям (рис. 4.2).

Для того чтобы убедиться в том, что эта процедура формально эквивалентна методу, описанному в предыдущем разделе, введем тензор непроницаемости rj. :

где е-1 — тензор, обратный диэлектрическому тензору ?. Используя это определение, можно записать следующее соотношение между векторами EhD:

Подстановка выражения (4.3.3) для E в волновое уравнение (4.2.5) приводит к уравнению

Ч0 = ео(е %-

(4.3.2)

E = —tjD.

En

О

(4.3.3)

S X [s X tjD] + — D = 0,

(4.3.4)

л

S

РИС. 4.2. Метод эллипсоида показателей преломления. Внутренний эллипс представляет собой сечение эллипсоида показателей преломления плоскостью, перпендикулярной вектору s. 88

Глава 4

где мы использовали определение к = п (w/c)s (s — единичный вектор в направлении распространения). Поскольку вектор D всегда перпендикулярен направлению распространения (s • D = 0), удобно использовать новую систему координат, одна из осей которой выбрана вдоль направления распространения волны. Две другие оси обозначим индексами 1 и 2. В такой системе координат единичный вектор S дается выражением

(°\

S= Oj, (4-3.5)

а волновое уравнение (4.3.4) принимает вид

(4.3.6)

Поскольку S-D = 0, третья составляющая вектора D всегда равна нулю. Элементы тензора т/13, т/23 можно опустить и ввести тензор поперечной непроницаемости rj, следующим образом:

т,=(4" 412V (4.3.7)

\1J21 422) V У

При этом волновое уравнение принимает вид J

п

V1 - — ID = 0, (4.3.8)

где D — вектор электрического смещения.

Векторы поляризации нормальных мод являются собственными векторами тензора поперечной непроницаемости с собственными значениями I/«2. Поскольку т— симметричный тензор второго ранга, он имеет два ортогональных собственных вектора. Эти два собственных вектора D1 и D2 отвечают двум нормальным модам распространения с показателем преломления и, и п2 соответственно.

Пусть ?2, ?3 — координаты произвольной точки в новой системе координат. Эллипсоид показателей преломления в этой системе координат определяется выражением

Vafiiaifi=1. (4.3.9)

где мы предполагаем суммирование по повторяющимся индексам а, ? (1, 2, 3). Подставляя в (4.3.9) ?3 = 0, получаем эллипс сечения Распространение электромагнитных волн в анизотропных средах

89

этого эллипсоида плоскостью (?3 = 0), проходящей через начало координат и перпендикулярной направлению распространения. Таким образом, мы имеем следующее уравнение для эллипса в сечении:

Чпі? + ЧаЙ + 2Ч,2$,{2 = 1. (4.3.10)

Коэффициенты в уравнении (4.3.10) образуют тензор поперечной непроницаемости t)t. Следовательно, собственные векторы этого тензора второго ранга направлены вдоль главных осей эллипса сечения. В соответствии с (4.3.8) значения п определяются длинами главных осей. Это доказывает эквивалентность метода эллипсоида показателей преломления и метода, описанного в предыдущем разделе.

4.4. ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ, ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ И СКОРОСТЬ ПЕРЕНОСА ЭНЕРГИИ

Нормальная поверхность (поверхность постоянной ш в пространстве к), описываемая уравнением (4.2.8), содержит информацию как о фазовой, так и о групповой скорости. Фазовая скорость плоской волны по определению равна

yP = Js- (4.4.1)

Групповая скорость волнового пакета дается выражением vg=Vkw(k), (4.4.2)

а скорость переноса энергии определяется следующим образом:

V = S (4.4.3)

eU'

где S — вектор Пойнтинга, a U — плотность энергии. По определению групповая скорость Vg является вектором, перпендикулярным нормальной поверхности. В разд. 1.5 мы показали, что групповая скорость представляет скорость переноса энергии при распространении лазерного импульса в диспергирующей среде. Ниже мы увидим, что групповая скорость волнового пакета, распространяющегося в анизотропной среде, также описывает перенос энергии, т. е. vg = ve.
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed