Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
83
РИС. 4.1. Нормальная поверхность.
двум различным фазовым скоростям (ш/к) волн, распространяющихся вдоль выбранных направлений. Направления вектора электрического поля, связанные с распространением вдоль этих направлений, можно также вычислить из уравнений (4.2.7), они определяются вектор-столбцом
К
к2 - wVx
У
к2 - 0}2ЦЕу
к2
к1 - U2HE2
В разд. 4.3 мы покажем, что эти две фазовые скорости всегда отвечают двум взаимно ортогональным поляризациям (для вектора электрического смещения D) (см. также задачу 4.1).
При распространении в направлении оптических осей существует только одно значение к и, следовательно, только одна фазовая ско- 84
Глава 4
рость. Однако имеются два независимых направления поляризации.
Выражения (4.2.8) и (4.2.9) нередко записывают через косинусы, задающие направление волнового вектора. Используя соотношение k = (ш/с)пS для плоской волны, описываемой выражением (4.2.1), уравнение (4.2.8) и вектор-столбец (4.2.9) можно записать соответственно в виде
sI sv ^2 1 -T—a-+ -+——^-= — (4.2.10)
п - ?*/?о п - ?у/?о п - ?г/?о " и
(4.2.11)
И - ?*/?0 П1 - CyAo S П2 - ?z/?0 ,
Уравнение (4.2.10) называется уравнением волновых нормалей Френеля. Его решения дают главные значения показателей преломления, а выражение (4.2.11) определяет направления поляризации независимых волн, которые могут распространяться в кристалле. Уравнение (4.2.10) является квадратичным относительно«2. Поэтому каждому направлению распространения (из набора sx, s , sz) соответствуют два решения для п1 (задача 4.2). Для полного решения задачи мы должны подставить каждое из значений п2 в выражение (4.2.11), что позволяет определить поляризации соответствующих независимых волн. Можно показать, что для непоглощаю-щей среды эти независимые волны линейно поляризованы, поскольку в (4.2.11) все величины являются вещественными. Пусть E1 и E2 — векторы электрического поля, a D1 и D2 — векторы электрического смещения линейно поляризованных независимых волн, соответствующих п\ и п\. Из уравнения Максвелла V-D = O следует, что D1 и D2 ортогональны s. Поскольку D1-D2 = 0, три вектора D1, D2 и s образуют взаимно ортогональную тройку векторов и могут быть выбраны в качестве системы координат при описании многих физических явлений, в том числе и оптической активности. Согласно уравнениям Максвелла, векторы D, E и H связаны между собой соотношениями
D = - -S X H
с
(4.2.12) Распространение электромагнитных волн в анизотропных средах
85
и
H = -SXE. (4.2.13)
цс
Отсюда следует,-что как D, так и H перпендикулярны направлению распространения s. Таким образом, направление потока энергии, определяемое вектором Пойнтинга Ex Н, вообще говоря, не совпадает с направлением распространения s. Подставляя выражение (4.2.13) для H в (4.2.12) и используя векторное тождество Ax(BxC) = В (А-С) — С (А-В), получаем следующее выражение:
M2 H2
D=- — S X (s X Е) = —- [Е - s(s • E)] =
c2u си
2 (4.2.14)
-nF
— - С' попереч, С /X
а поскольку s D = 0 и n2/c2ix = я%0, имеем
п
2
D = -^-E • D = л є0Е • D. (4.2.15)
C2H
Иными словами, векторы D, E и s лежат в одной плоскости. Можно показать, что эти векторы связаны между собой следующими соотношениями (см. задачу 4.1):
D1 • D2 = О, D1 • E2 = О, D2 • E1 = О,
(4.2.16)
s • D1 = s • D2 = 0.
Векторы E1 и E2 в общем случае не ортогональны. Условие ортогональности для независимых волн можно записать в виде
S-(E1XH2) = O. (4.2.17)
Последнее соотношение означает, что поток энергии в анизотропной среде вдоль направления распространения равен сумме энергий, переносимых каждой независимой волной.
4.2.1. СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ ВОЛН
Выведем теперь условие ортогональности (4.2.17) для двух независимых волн, распространяющихся вдоль некоторого направления s. Используя выражения (4.2.1) и (4.2.2) для электрического и магнитного полей и теорему взаимности Лоренца, получаем
S-(E1XH2) = S-(E2XH1). (4.2.18) 86
Глава 4
Подстановка выражения (4.2.13) для H1 и H2 в уравнение (4.2.18) приводит к уравнению
% • [E1 X (s X E2)] = ^s - [E2 X (а X E1)]. (4.2.19)
Это уравнение можно упростить, используя векторное тождество А-(В X С) = С-(А X В).
В результате получаем
^(s X E1) • (9 X E2) = ^(s X E1) .(S X E2). (4.2.20)
Поскольку уравнение (4.2.20) должно быть справедливо для любого произвольного направления распространения s с л, Ф п2, оно может выполняться только в том случае, когда обе его части равны нулю, т. е.
S-(E1XH2) = S-(E2XH1) = O. (4.2.21)
Таким образом, вдоль произвольного направления s могут распространяться две независимые линейно поляризованные плоские волны. Эти независимые волны имеют фазовые скорости ±с/и, и ±с/п2, где п2 и п\ — два решения уравнения Френеля (4.2.10).
На практике показатели преломления л,, п2 и направления векторов D, H и E чаще всего определяют, используя не описанный выше метод, а формально эквивалентный метод эллипсоида показателей преломления. Этот метод описан в следующем разделе.
