Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
(2.5.20)
(2.5.21)
E(z = 0, t) = е~а,2е'ы°' =
- OO
(2.5.22) Распространение лазерных пучков
55
где F (О) — фурье-образ огибающей е а1'
-Q1ZAa
F(Q)=
1
4 тта
(2.5.23)
Заметим, что частотный спектр гауссова распределения имеет максимум в точке W0. Поэтому поле на расстоянии z получается умножением каждой компоненты (ы0 + О) в (2.5.22) на ехр[- i? (ы0 + + 0)г]. Если разложить /3(со0 + О) в ряд в окрестности w0:
то можно записать следующее выражение
Qt -
Qz
1 d I 1
2 du и.
o2z
(2.5.24)
E(z,t) = e'("°'-?°z)f rf?f(?)exp|/ где
O - я,„ 4 d? _ \
Огибающая поля дается интегралом в выражении (2.5.24) и имеет вид
1 d I 1
e(z,t) = J dQ F(Q) ехр і /і
r?
t tj. I 2 I с
= J?F(?)expb?
?--- aQz
(2.5.25)
где
2 du [ vg) 2 и2 '
Подставляя величину F(Q) из (2.5.23) в формулу для огибающей (2.5.25), получаем выражение
^ '> - с ехр( - ?2(i+H+г('" t
? dQ.
которое после вычисления интеграла дает (см. задачу 1.9)
E (z,t) =
1
/1 + /4aaz
ехр
(' - ^aJ2
ехр
4az(r - z/v У
1 /а2 4- 16a2z2
1/а + 16 O2Z2U
(2.5.26)
Длительность импульса г на расстоянии z определяется как расстояние между двумя моментами времени, когда квадрат амплитуды огибающей импульса равен половине его максимальной величины:
t(z) = ^2in2 J- + 16a2z2a .
(2.5.27) 56
Глава 1
Исходная ширина импульса, определенная как ширина на полувысоте интенсивности, дается выражением
O--I —J • (2.5.28)
I 2 In 2 \1/2
Таким образом, ширину импульса после распространения на рас стояние L можно записать в виде
T(L) = + (^Г^) ¦ (2.5.29)
На больших расстояниях, для которых aL > т\, получаем , (8 In 2) aL
T(L)~±--—. (2.5.30)
7O
Если использовать определение коэффициента а [см. формулу, стоящую непосредственно после (2.5.25)], то последнее выражение принимает вид
41n2^L (25J1)
V1g du> т0
что с точностью до множителя In 2 совпадает с (2.5.21).
Дисперсию групповой скорости часто характеризуют величиной D = L~ [dT/d\, где T — время распространения импульса через волокно длиной L. Этот параметр связан со второй производной ? по со:
а также с использованным выше параметром я:
D=-^fa. (2.5.33)
Выражение для ширины импульса (2.5.29) можно записать через новый параметр D следующим образом:
T(L) = T0Jl +
2 In 2 DLX2
7O
2
(2.5.34)
Если величина DL измеряется в пикосекундах на нанометр, X — в микрометрах, а т — в пикосекундах, то выражение (2.5.34) прини- Распространение лазерных пучков
57
мает вид r{L) = T0
Дисперсия групповой скорости (т. е. зависимость V от со), приводящая в соответствии с (2.5.31) к уширению импульса, обусловлена двумя механизмами:
1 + | 1,47 DL*]1 (2 5 35)
1. Групповая скорость Vg зависит от со согласно (2.5.17), поскольку к = соп/с.
2. Групповая скорость v неявно зависит от со вследствие зависимости показателя преломления вещества п от со. Подставляя dvg/dw = dvg/do) + (dvg/dn)(dn/du)) в выражение (2.5.20), получаем
dn
л 2L Дт = -
с
п„п
ск
Дсо,
(2.5.36)
где во втором члене мы предположили, что (P2Zlk2Ti^Q + т + + I)2 < 1. В большинстве волокон уширение импульса обусловлено в основном материальной дисперсией, характеризуемой величиной dn/dw.
На рис. 2.5 приведено реальное распределение показателя преломления в параболических волокнах на основе SiO2 — B2O3 при п2 « 5- IO3 см-2. Рис. 2.6 иллюстрирует уширение оптического импульса после прохождения им расстояния около 2,5 км. Входной оптический импульс возбуждает большое число (/, т) мод," и уширение описывается выражением (2.5.19). Эти данные взяты из работы [8], в которой исследовано также влияние важного явления меж-модовой связи на уширение импульса.
Подставляя (2.5.26) в (2.5.24), нетрудно получить выражение для полного поля на расстоянии z:
E(z, t) = e(z, f)e<("o<-*M) = p-i?oz I
]/l + iAaaz
exp< і
4az(t - z/vgf U°t+ a~2 + I6a2z2
('-У»*)2
I/o + 16a2z2«
(2.5.37) 58
Глава 1
Дв * 10®
Радиус, мкм
РИС. 2.5. Градиентный профиль показателя преломления по толщине волокна нз SiO2 — B2O3. Штриховой линией изображен квадратичный профиль. (Согласно работе [8].)
L"0 L = 2516 м
1 пс/дел
а
Z ж/дел 6
РИС. 2.6. а — форма импульса на входе в градиентное волокно из SiO2 — B2O3 с квадратичным профилем показателя преломления, показанным на рнс. 2.5; б — форма импульса на выходе после прохождения волокна длиной 2516 м (обратите внимание на разные временные шкалы на рис. а и б). (Согласно работе [8].)
Таким образом, фазу электромагнитной волны можно записать в виде
4 az(t - z/v)2
Ф(г, Г)- <V + -2 2 2 - A>z- (2.5.38)
а + 16 azzz Распространение лазерных пучков
59
При этом локальная «частота» со (г, 0 дается выражением
Mi^il ,2.5.39,
dt а 2 + \6a2z2
и представляет собой сумму из двух слагаемых, одно из которых равно исходной частоте со0, а другое линейно меняется со временем (chirp) и пропорционально параметру дисперсии групповой скорости а. Это второе слагаемое можно качественно объяснить тем, что из-за дисперсии групповой скорости разные частотные составляющие распространяются с различными скоростями. Из (2.5.35) следует, что относительное уширение т (L)/Tq для данного лазерного импульса, если произведение DL, характеризующее групповую дисперсию, много меньше величины (t0zx)2, невелико (т. е. ~ 1). Желательно, разумеется, создавать такие условия для распространения импульса света, чтобы дисперсия групповой скорости отсутствовала (D = 0). Это может иметь место в оптических волокнах, когда для некоторой длины волны излучения частотная и материальная дисперсии компенсируют друг друга. Недавно была продемонстрирована возможность распространения практически без искажений импульса длительностью 5 пс (5 10"12 с), ширина которого ограничивалась лишь преобразованием Фурье, в двух кремниевых одномодовых волокнах длиной 0,76 и 2,5 км соответственно на длине волны X = 1,30 мкм, на которой дисперсия групповой скорости равна нулю (или почти равна нулю) [10]. На рис. 2.7 показано экспериментально измеренное уширение импульса.
