Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Заменяя в последнем уравнении величину [PNL (z, г)], выражением (12.3.7) и вспоминая, что сo^t0e = к\, получаем
ftI^te"*" = - ifTia^-"" +
или после деления на ikte~'klZ (и принимая во внимание частотную зависимость величины а) имеем
dEu о, /І^Гр _ . ГЕЕ d> Е Е;,е~і(кз~кг~к')2 dz 2 у е, У "і
и аналогично
dElk
2к__2l ГЕЕ г* -I- ГЕЕ И' E F*e~'<k |-*э + *2)г
:--Tl . 2к 2\1 „ Ukijbubye
ИГ - 2 V ?2 2к 2V «2
(12.3.11)
dE„
У,- -Sl tl F - іLS d' E F ^-4k,+k2-ky)z
dz---TVe3 3V я. aJItbUW
Эти уравнения составляют главный результат данного раздела. В следующих разделах мы применим их к некоторым частным случаям.
12.4. ГЕНЕРАЦИЯ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ В ОПТИЧЕСКОМ ДИАПАЗОНЕ
Эксперимент по генерации второй гармоники в нелинейной оптике выполнили в 1961 г. Франкен, Хилл, Петере и Вейнрейх [1]. На рис. 12.1 дано схематическое представление первоначального экспе- 558
Глава 12
РИС. 12.1. Установка, использованная в первом эксперименте, в котором была поручена генерация второй гармоники [1]. Пучок рубинового лазера (X = 0,694 мкм) фокусируется на кристалле кварца, что приводит к генерации (слабого) пучка при Х/2 = 0,347 мкм. Затем два пучка разделяются призмой и регистрируются на фотопленке.
римента. Пучок рубинового лазера на длине волны 6943 А фокусировался на передней поверхности кварцевой пластинки. Выходящее излучение исследовалось на спектрометре, и было обнаружено, что оно содержит излучение на удвоенной частоте входного пучка (т. е. в длинах волн мы имеем X = 3471,5 А). В этом первом эксперименте эффективность преобразования была порядка IO"8. Применение более эффективных материалов, лазеров большой мощности и методов фазовой синхронизации позволило получить за последние несколько лет эффективности преобразования, приближающиеся к единице. Все эти возможности мы и обсудим ниже в данном разделе.
Рассмотрим уравнение (12.3.11) в случае генерации второй гармоники. Это предельный случай трехчастотного взаимодействия, когда две частоты w1 и w2 равны друг другу, а ш3 = 2wr Следовательно, нам потребуются лишь два уравнения из (12.3.11), а именно первое (или второе) и последнее. Чтобы еще более упростить анализ и тем не менее сделать так, чтобы он правильно отражал большинство экспериментальных ситуаций, мы предполагаем, что при преобразовании во вторую гармонику потери мощности входного (w,) пучка ничтожно малы, так что dEu/dz ~ 0. При этом мы можем рассматривать лишь последнее из уравнений (12.3.11). Если среда прозрачна при ш3, то <г3 = 0 и мы имеем
(12.4.1а) Нелинейная оптика
559
где
w = <0, = 5<03, є = b3,
а
м = W - M0 - *ik);
(12.4.16)
здесь Щ> — постоянная распространения пучка с частотой w1, поляризованного вдоль направления /.
Предположим теперь, что i, j vi к могут принимать значения х и у, которые выбираются вдоль направлений поляризации собственных мод в кристалле. Волна с частотой w1, вообще говоря, является линейной суперпозицией этих двух собственных мод и, таким образом, имеет как х-, так и ^-компоненту. Верхний индекс у к означает, что величина постоянной распространения зависит от состояния поляризации пучка. Заметим, что в правую часть уравнения (12.4.1а) входит коэффициент 1/2, обусловленный вырождением w2 = W1 [см. выражения (12.2.8) и (12.2.10)].
Решение уравнения (12.4.1) при Eij- (0) = 0 (т. е. при отсутствии второй гармоники в начальной плоскости) для кристалла длиной L имеет вид
где мы напоминаем, что суммирование предполагается по повторяющимся индексам (/, к = X, у). В правой части выражения (12.4.2) имеется, вообще говоря, четыре члена. Рассмотрим случай, когда в правой части преобладают два перекрестных члена d[Jk и djki (і ф к), обусловленные синхронизацией фаз или большими нелинейными коэффициентами. Таким образом, используя симметрию относительно перестанови инHPtfrnn трн-зппя H' чз (12.4.2) получаем
где і - X, к = у (или і = у, к = X) и отсутствует суммирование по повторяющимся индексам. Множитель 4 является результатом возведения в квадрат множителя 2 (два перекрестных члена). Чтобы получить выражение для выходной мощности второй гармоники P^, воспользуемся соотношением (1.4.21):
(12.4.2)
Ei* (L)Eij(L) = ^w
(12.4.3) і 560
Глава 5
Подставляя в это выражение соотношение (12.4.3), получаем
площадь V с * " хк (}Mi)2
или, записывая последнее выражение через мощность первой гармоники, имеем
Л Ve/ л3 Л2 QAitZ,)2'
здесь и — мощности мод на частоте ш (і Ф к). В случае Z3H = I*jf> = (1/2)выражение (12.4.4) принимает вид
P'2") _ 2/Мо\3/2ц2(^)2^2/Р(1д>_\ SinHAfc L (12А5)
/>(") \ е0 / „з \ площадь / (ід^ ?)2 '
где мы приняли C1 « ?3 = е0п2. Если бы мы использовали диагональные члены (хх или уу), когда волна с частотой и поляризована вдоль X или у, то получили бы те же самые выражения (12.4.3) и (12.4.5).
12.4.1. ФАЗОВЫЙ СИНХРОНИЗМ
ПРИ ГЕНЕРАЦИИ ВТОРОЙ ГАРМОНИКИ
Из выражения (12.4.5) следует, что для эффективной генерации второй гармоники необходимо выполнение предварительного условия Afc = 0, или, если учесть, что w3 = 2ш, = w2 = ш,
