Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Мы не будем касаться в этой главе физического происхождения нелинейных коэффициентов dijk и Xijkn а примем их в качестве мате- і 544
Глава 5
риальных параметров и изучим электромагнитные явления и применения, последние из которых стали возможными благодаря нели-нейностям. Читатель, интересующийся физическими основами, может обратиться к работам [4—7].
12.2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА; ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ
Рассмотрим нелинейную связь двух оптических полей. Первое из них, выражаемое через компоненты электрического поля, дается выражением
?"'(/) = Re( ?,"'?""'') = U^fe""' + компл.) (j = х, У, (12.2.1) /W vy / ^vy сопр. '
в то время как поле при частоте ш2 записывается в виде
Ep(t) = Re( JSjJV"*') (к = X, 2). (12.2.2)
Если среда нелинейная, то присутствие этих полей вызывает поляризации на частотах пшх + тш2, где п и т — любые целые числа. Представляя поляризационные компоненты на частоте ш3 = = W1 + ш2 вдоль /-го направления как
= Re( PihVw3') (12.2.3)
и ограничиваясь рассмотрением в (12.2.1) членов второго порядка, т. е.
Pi = IdijkEjEk, (12.2.4)
мы получаем
Pi(C) = 2diJk(\Epeiu'' + iEpeiUl' + компл. сопр. ) X
X (дае"*" + {Ере1"2' + компл. сопр. j. (12.2.5)
Рассмотрим только член, соответствующий суммарной частоте:
p-i+"2(,) = ![</_ E-i^e'Ci+«»)' + dlk/EpEpei("i+a'>' + компл. 1,
сопр. J
(12.2.6)
где мы используем соглашение о суммировании по повторяющимся индексам. В системах без потерь (с мгновенным откликом) d = Нелинейная оптика
545
= CljJk [8], мы имеем
Р/»'+»'(0-ІР,»'"",+"2е'<»'+»*>'+ компл. сопр.
= diJkEpE^ei(^+a^' + компл. сопр.
или
р.Из-И1+И2 = 2diJkEpE?>. (12.2.7)
В системах с потерями djJk обычно зависит от W1 и W2 и рассматривается сумма или разность этих частот. Таким образом, нелинейность можнс- определить, вообще говоря, не через мгновенные оптические поля, как это было сделано/в (12.1.1), а через их комплексные амплитуды '
= 2dijk(-w3, w1, w2)EpEk 2 (12.2.8а)
и
р,"'—-"' = —w3, w1, —w2)Ep(Ek1)*, (12.2.86)
где коэффициент djJk (—w3, W1, w2) связывает /-ю компоненту комплексной амплитуды 2 с произведением Заметим, что в общем случае
* dijk( w3, W2,W1),
поскольку два этих коэффициента относятся к случаям, когда поля с частотами o>L и W2 имеют различные направления, так что результирующая Pfi-"1+Ш2 для них не обязательно одна и та же. Однако имеет место следующее равенство:
dijk(~u3> "г) = dikj(-w3, w2, W1). (12.2.9)
Мы будем рассматривать главным образом случай прозрачных кристаллов без потерь, когда коэффициенты d~k не зависят от частоты или от того, на суммарной или разностной частоте происходит генерация. Ниже мы будем опускать любые их обозначения, связанные с частотой.
Только кристаллы без центра симметрии обладают ненулевым тензором dyk. Это следует из требования того, чтобы в центросим-метричных кристаллах изменение знаков у и Е%2 приводило к изменению знака поляризации /*°3=шI+"2, но не влияло на значения
35-631 і 546
Глава 5
амплитуд. Используя выражение (12.2.8), мы получаем
-dijkEpEp = dijk{-Ep){-Ep),
так что djjk = 0. Отсутствие симметрии относительно инверсии является также необходимым условием для линейного электрооптического эффекта и пьезоэлектричества, т. е. все электрические и пьезоэлектрические кристаллы проявляют нелинейные оптические свойства второго порядка (Р ~ E2). Этот же аргумент можно использовать для доказательства того, что все кристаллы, а также жидкости и газы проявляют оптические нелинейности третьего порядка.
Коэффициенты d к измеряют чаще всего в экспериментах по генерации второй гармоники, когда о>, = ш2 = ¦ ш. В этом случае мы имеем
Заметим, что выражения (12.2.10) и (12.2.8) различаются множителем 2. Это следует непосредственно из (12.2.5). Поскольку в выражении (12.2.10) перестановка индексов j и к местами не имеет никакого физического смысла, в соответствии с (7.1.10) можем заменить нижние индексы kj и jk условными индексами:
XX = I, уу = 2, ZZ = 3,
yz = zy = 4, XZ = ZX = 5, ху = ух = 6.
Получаемые коэффициенты dtj образуют Зхб-матрицу, которая, действуя на вектор-столбец E2, дает вектор поляризации Р:
Тензор djj в условных обозначениях удовлетворяет тем же требованиям симметрии, что и пьезоэлектрический и электрооптиче-
Р2ш = d
* / "ijk J к
іJk j ^k
(12.2.10)
К. dx2 dn di4 di5
Py = d2l d22 d23 d2A d2b d26 XPZ) Из. dn ^33 du d35 d36i
(12.2.11) ТАБЛИЦА 12.1. Нелинейные оптические тензоры в условных обозначениях для всех кристаллических классов
Центросимметричные классы
Классы 1,2/т, штш, 4/т, 4ттт, 3, Зт, 6/т, бттт, тЗ, тЗт:
/0 0 0 0 0 0] 0 0 0 0 0 0 \0 0 0 0 0 0/
Класс 1—С,:
Триклинная система
К. dx 2 di\ d12 d3l d
123
<^24 d
ъъ
'34
26
35
36/(18)
Моноклинная система
Класс m—Cs:
m J. Jc3
Класс m—С.:
du d\i dn 0 0 d^
d2\ dn dn 0 0 dU
0 0 0 d3i djs 0
(10)
(du d I2 <*.3 0 dl5 0
m ± X2* 0 0 0 d24 0 d2f,
31 d32 d33 0 d} з 0 (10)
