Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ярив А. -> "Оптические волны в кристаллах" -> 139

Оптические волны в кристаллах - Ярив А.

Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах — М.: Мир, 1987. — 616 c.
Скачать (прямая ссылка): opticheskievolnivkristalah1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 168 >> Следующая


Заметим, что модовое условие (11.11.5) может быть получено непосредственно из выражения ("11.2.5) с помощью подстановок q — Ihv h — h2, р Ihv Это соответствие между двумя группами постоянных следует из сравнения формы решений для локализованной моды (11.2.3) с решением (11.11.3). Знаки перед Zi1 и A3 в экспонентах решения (11.11.3) выбираются таким образом, чтобы решение описывало распространение волн в граничащих средах. Это соответствует утечке электромагнитной энергии из сердцевины в окружающую среду. Так как вся диэлектрическая структура является пассивной (т. е. отсутствуют усиление или источники излучения), утечка энергии должна соответствовать уменьшению энергии мод в сердцевине при распространении их вдоль оси z. Таким образом, постоянная распространения мод утечки должна представлять собой комплексное число

где а > О — коэффициент ослабления мощности моды, а /3<0> — вещественная величина. Действительно, модовое условие (11.11.5), полученное из электродинамического рассмотрения, не выполняется для вещественных значений ? в области 0 ^ ?2 ^ и^о- ^3 выражений (11.11.2)—(11.11.4) следует, что комплексная постоянная распространения ? (11.11.6) приводит к экспоненциальному уменьшению мощности мод вдоль оси Z и одновременно к экспоненциальному увеличению интенсивности волны с \х\ в граничной среде. Поскольку при Ixl = оо амплитуды полей становятся бесконечными, модовая функция (11.11.3) с комплексным ? не является решением

tg h2t = і

h\ + A1A3

(11.11.5)

? = j?(0) - і/а,

(11.11.6) 524

Глава 11

уравнений Максвелла, если волноводная структура бесконечна в поперечном направлении. Однако выражение (11.11.3) описывает приближенно правильно поле вблизи сердцевины и внутри сердцевины в волноводной структуре конечной протяженности. Уравнение (11.11.5) можно решить, если учесть выражения (11.11.4) для величин A1, A2 и A3, определяющих комплексную постоянную распространения ?. Приближенное решение можно получить методом последовательных приближений (итераций), если волновод «широкий» и угол падения в2 близок к углу скольжения (O2 ~ тг/2), так что О = A2 < A1 3. В этом случае модовое условие можно приближенно записать в виде

tg а2/-й2(± + ±

(11.11.7)

Поскольку A2 A1 3, правая часть выражения (11.11.7) очень мала и в первом приближении ею можно пренебречь. Тогда в первом приближении для A2 имеем

A7 —

sir

s = 1,2,3....

(11.11.8)

Для широких волноводов (т. е. больших /) величина A2 действительно является небольшой при условии, что модовый индекс S мал. Так как A2 = 0, из (11.11.4) получаем следующие выражения для ?, A1 и A3 в приближении первого порядка:

? = п2к0,

К=к0{п\-п\)Х/\ А,-*0(„>-„!)"».

(11.11.9)

Во втором приближении мы подставляем Ap A2 и A3 из (11.11.8) и (11.11.9) в правую часть (11.11.7). Это приводит к выражению

tg A2/ = ї-

1

+

1

ко(п}-п\)Х/2 к0(п] - W2)'72

(11.11.10)

которое можно рассматривать как приближенное выражение для A2/, поскольку правая часть мала:

517 5я-

A2---1- /-г

2 ' /2

1

1

ко{п]-п\)1/2 к0{п\-п\)1/2

(11.11.11) Направляемые волны и интегральная оптика

525

Подстановка этого выражения в (11.11.4) дает второе приближение для ?:

? = "2^0

J _ 1_( SIT n2

2 \ n2k0t

-i\

SIT

V-

+

tn2(n23 - n2)>/2 tn2(n2-n\)

1/2

(11.11.12)

Таким образом, коэффициент затухания для ТЕ^-мод можно записать в виде

«Iе = 2

sir V k0t)

tn2(n\-n\)X/1 tn2(n]-n\)

+

1/2

или, используя к0 = 2тг/Х, в виде

ТЕ

2 n2X(t/X)

(п2-п2)1/2 (п2-п2)

1/2

5 = 1,2,3,...,

(11.11.13)

S= 1,2,3,....

(11.11.14)

Этот результат был получен в работе [31]. Мы видим, что коэффициент затухания уменьшается как t~3. Поскольку такое затухание обусловливается неполным отражением на диэлектрических границах (т. е. R < 1), коэффициент затухания как для ТЕ-, так и для TM-волн можно вычислить с помощью модели зигзагообразного распространения лучей.

11.11.1. ГЕОМЕТРООПТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Найдем теперь коэффициенты затухания и постоянную распространения ?, используя геометрооптическое приближение (см. разд. 11.2). Поскольку в случае, когда п2 < пх 3, фазовые сдвиги ф21 и ф23 при отражении от диэлектрических границ равны 0 или тг, модовое условие (11.2.22) принимает вид

h2t = W2^0COS 62t = sir, s= 1,2,3,..., (11.11.15)

где B2 — угол падения (см. рис. 11.31). Пусть Rli и R23 — коэффициенты отражения на диэлектрических границах х = О и х = —t соответственно. Из выражений (11.10.17) и (11.10.18) следует, что коэф- 526

Глава і і

фициент затухания а можно записать в виде

а = —

2t tg A2

-^[InZt21 + InZt23].

(11.11.16)

При скользящем падении (cos O1 ~ 0) коэффициенты отражения Rlj и R13 можно приближенно записать следующим образом:

1

R21 =

W2COS O1 /I1COSfll W1COS $2 /J2COSfl1

(ТЕ), (ТМ),

(11.11.17)

rH ж

^w2COS A2 W3COS в3 ^ W3COS в2 W2COsfl3

(ТЕ), (ТМ),

(11.11.18)

где O1 и в3 — углы падения лучей (см. рис. 11.31) в средах 1 и 3 соответственно. Используя закон Снелля, для этих углов можно написать следующие приближенные выражения:
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed