Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
Для получения выходных мощностей Pa и Pb необходимо решить уравнения связанных мод (11.8.11) в области 0 < z < L/2 и найти модовые амплитуды A (L/2) и В(Ь/2). Эти две амплитуды затем используются в качестве (граничных) входных условий при решении уравнений связанных мод (11.8.11) в области L/2 < z < L с противоположным знаком величины A? (или 8). Из-за изменения знака у A? постоянные распространения ?a + каа и ?b + Kbb двух волноводов не являются постоянными, так как они теперь имеют различные величины в двух смежных секциях. Амплитуды мод A (z) и B(z), определяемые выражением (11.8.10), должны быть переопределены в области второй секции L /2 ^ z < L. Это очень неудобно в случае, когда устройство имеет больше чем две секции. Определим теперь две новые модовые амплитуды, которые не зависят от изменения знака A?:
где 5 дается выражением (11.8.12). Используя выражения (11.8.18), полное электрическое поле можно написать в виде
A'{z) = A(z)e~'Sz, B'(z) = B{z)eiSz,
(11.8.18)
E = [Л'(*)бя + Я'(г)Єй]ехр[і(«г - ?z)],
(11.8.19) 493
-1-------t^^-P. 1.50
2??? -. Pt. I
Прямая ветвь
Перекрестная ветвь
10 20 30
Напряжение, В 6
Перекрестная ветвь
10 20 30
Напряжение, В г Направляемые волны и интегральная оптика
503
РИС. 11.22. а — переключаемый направленный ответвитель, состоящий из двух оптических полосковых волноводов с длиной взаимодействия L (из работы [16]; copyright 1976 IEEE); б — оптическая мощность, переходящая из переключателя в прямую и перекрестную ветви волноводов, как функция напряжения для случая а; в — схема с расщепленными электродами для переключаемого ответвителя с изменением знака A? (знакопеременные A? с двумя секциями электродов) (из работы [16]); г — оптические мощности Pg и Pb как функции напряжения для случая в; д — диаграмма переключений ответвителя с двумя секциями электродов, имеющих знакопеременные A?. Знак (X) означает перекрестное состояние, а знак ® соответствует прямому состоянию (из работы [16]).
где
?=H?a + Kaa + ?b + Kbb). (11.8.20)
Заметим, используя (11.8.19), что эти новые модовые амплитуды А' и В' действительно не зависят от изменения знака величины A?.
Используя выражения (6.4.30) и (11.8.18), амплитуды А' (L/2) и В' (L/2) можно выразить через А' (0) и В' (0):
'АЦЬУ
(11.8.21)
где
5 = cos W^TF - (11.8.22)
V^rTs2
к sin UA2 + S2
X--F==-¦ (11.8.23)
v/^Ts2 .
Коэффициенты S и X представляют прямую и перекрестную связи соответственно. Аналогично A' (L) и В' (L) могут быть выражены через А' (L/2) и В' (1/2)
S JlirQL)!
где мы учли изменение знака величины 8(8 = A?/2) в области L/2 ^ Z ^ L. Подставляя выражение (11.8.21) в (11.8.24), получаем
/ладWra-jr* -2is*x \/л'(о)\
\B'(L)J ^ -2iX*S S*S — Х*Х11 Br(O) І ' ' і 504
Глава 5
Если предположить, что входная мощность P0 = IA'(0)I2 отдельной моды вводится в первый волновод, то В' (0) = 0. С помощью выражений (11.8.22), (11.8.23) и (11.8.25) оптические мощности мод в волноводах при z = L можно записать в виде
1 - ^^ Sin2IzV^Tsy'2
к2 + S2
Pa(L) = P0
Pb(L) = P0-Pa(L). (11.8.26)
Согласно формуле (11.8.26), полная передача мощности из волновода а в волновод b имеет место, когда
к
2
Sin
LJK1 + S2 = і (11.8.27)
к2+ S2 2 2
Определяя длину переключения Ic = ж/2к (Ic — длина, на которой происходит полный переход мощности из а в b при <5 = 0), мы можем переписать выражение (11.8.27) в виде
_--sinгШ[ї)г+(Щ\ = Sin2(J). (11.8.27а)
(L/lc) + (28L/ir) I4VWJ V * I I
На рис. 11.22, д представлены кривые переключения, построенные в соответствии с формулой (11.8.27а) в плоскости 5L — L/lc. Этим кривым на рисунке соответствуют кривые, связывающие точки (х) на оси ординат. Каждая точка на такой кривой соответствует паре OL, Lflc, для которой имеет место полная передача мощности. Показаны также кривые, соединяющие точки (=), которым соответствует «сквозное» прохождение мощности.
Таким образом, возможно (например, при 1 ^ LZlc ^ 3) переключение из режима полного «сквозного» прохождения (=)к «перекрестному» режиму О изменением величины ЬL/ж от значения, указанного на рис. 11.22, д точкой В, до значения, соответствующего точке А.
В случае когда 8 = 0, условие перекрестной трансформации (11.8.27) приводит к соотношению kL = ж/2 + пж (п = 1, 2, ...). Если 8 выбрана правильно, то условие (11.8.27) может быть удовлетворено для большой области значений величины L. Действительно, для kL в области ж/2 ^ kL ^ Зж/2 этому условию всегда можно удовлетворить с помощью надлежащего выбора величины Направляемые волны и интегральная оптика
505
5. Это можно показать, если построить кривую, отвечающую левой части уравнения (11.8.27), как функцию величины 8. При 6 = 0 левая часть равна величине sin2(«L/2), которая больше чем 1/2 в области ж/2 ^ kL ^ ж/2. При больших значениях 8 левая часть уравнения (11.8.27) стремится к нулю как 8~2. Поскольку эта левая часть является непрерывной функцией величины 8, в области ж/2 < ^ kL < Ъж/2 всегда должно существовать решение.
