Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ярив А. -> "Оптические волны в кристаллах" -> 11

Оптические волны в кристаллах - Ярив А.

Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах — М.: Мир, 1987. — 616 c.
Скачать (прямая ссылка): opticheskievolnivkristalah1987.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 168 >> Следующая


2.3. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ГАУССОВ ПУЧОК В ЛИНЗОПОДОБНОЙ СРЕДЕ; ЗАКОН ABCD

Гауссов пучок (2.2.15), рассмотренный в предыдущем разделе, является решением волнового уравнения (2.1.2) для однородной среды (к2 = 0). Во многих случаях приходится сталкиваться со средой, показатель преломления которой изменяется по квадратичному закону (2.1.4), причем к2 ф 0. Например, показатель преломления n(r) градиентных волокон (см. ниже рис. 2.5) приблизительно описывается распределением (2.1.4). Другим важным примером является распространение гауссова пучка в среде с керровской нелинейностью [11]. В последнем случае к квадратичному распределению показателя преломления приводит распределение интенсивности самого лазерного пучка. Распространение волны в таких средах можно описывать двумя различными методами. При модовом описа- Распространение лазерных пучков

39

нии произвольная волна представляется в виде линейной суперпозиции мод, каждая из которых характеризуется своей постоянной распространения и поперечным электромагнитным полем (см. разд. 2.5). При описании с помощью гауссовых пучков предполагается, что распространение волны в каждой точке z подчиняется закону (2.1.9), причем параметры пучка P и q изменяются в соответствии (2.1.11). Последний подход представляется более наглядным и мы его рассмотрим в данном разделе.

Вернемся к рассмотрению общего случая линзоподобной среды, когда к2 Ф 0. В выражении (2.1.9) параметры P и q в соответствии с (2.1.11) удовлетворяют следующим уравнениям:

(іНї)Ч-0- >—г

Вводя новую функцию и, определяемую следующим образом:

(2.3.2)

і = HL

q и ' из (2.3.1) имеем

и" + и(^) = о, (2.3.3)

откуда

/ N 1к2 \кг

U(Z) = a siny — Z + b cosy — z,

(2.3.4)

u'(z) = aV T cosV -Tz~b\hr sinV T 2'

где а и b — произвольные постоянные, а штрих обозначает производную по Z-

Используя (2.3.4) и (2.3.2) и выражая параметры а и b через входное значение q (0) = q0, можно написать следующее выражение для комплексного радиуса пучка q (z):

g(.) _ goCQSa2Z + a2~ lSina2Z ^ (2J 5)

- q0a2 sina2 z + cos a2z '

где по определению a2 = (k2/k)i/2. В геометрической теории построения оптических изображений соотношение (2.3.5) между пара- I

40

Глава 2

метром q пучка на выходе и его значением q0 на входе известно как условие коллинеарности [2].

Физический смысл q (z) в данном случае можно выяснить с помощью (2.1.9). Выделим часть амплитуды поля ф(г, г), которая содержит г:

ф ОС е~>кгг/Iq(Z) _

(2.3.6)

Если записать вещественную и мнимую части величины q (г) в виде

-L---L--f Л (2 3 7)

q{z) R(z) W(z)' * '

то получим

г2 . кг2

ф ОС ехр

— I

w2(z) 2R(z)

(2.3.8)

Следовательно, как и в случае однородной среды, когда мы имеем гауссов пучок, описываемый выражением (2.2.15), величина со (г ) представляет собой радиус пучка, a R — радиус кривизны его волнового фронта. В частном случае однородной среды выражение (2.3.5) переходит в (2.2.4).

2.3.1. ЛУЧИ В ЛИНЗОПОДОБНОЙ СРЕДЕ

Распространение оптических пучков можно адекватно описывать с помощью уравнений Максвелла или (при определенных условиях) в рамках скалярного волнового уравнения (2.1.1). Показатель преломления п в волновом уравнении (2.1.1) отражает свойства среды и в общем случае зависит от положения в пространстве. Если п = = const, то уравнение (2.1.1) имеет решения в виде плоских волн (1.4.10). Если же п зависит от координат, то плоские волны уже не являются решениями. Однако в случае, когда п медленно меняется с расстоянием, решение можно искать в виде, близком к плоской волне настолько, насколько это возможно. Иными словами, мы ищем решение в виде

Ф = А( г)еп"'-ф(ГЯ. (2.3.9)

Здесь А(т) и ф(т) — искомые вещественные функции координат. Следовательно, А (г) характеризует амплитуду волны. В случае когда п = const, функция ф( г) равна к-г, и поэтому ее называют фа- Распространение лазерных пучков

41

зой волны; ее часто называют также эйконалом. Если подставить выражение (2.3.9) для Ф в волновое уравнение (2.1.1) и предположить, что относительное изменение п на расстояниях порядка длины волны пренебрежимо мало, то скалярное волновое уравнение принимает вид

(*ф)2 = (т")2- (2-ЗЛ0)

В случае однородной среды интегрирование уравнения (2.3.10) дает ф(т) = к-г, где к = I-KiifK. Вывод уравнения (2.3.10) мы предлагаем читателю провести самостоятельно в качестве упражнения (задача 2.5). Уравнение (2.3.10) называется в геометрической оптике уравнением эйконала. Поверхности постоянной величины ф, определяемые этим уравнением, представляют собой поверхности постоянной оптической фазы, или волновые фронты. Световые лучи определяются как траектории, ортогональные волновым фронтам ф(т) = const, и, следовательно, описываются также уравнением (2.3.10). Если г — радиус-вектор некоторой точки на траектории луча, а 5 — длина луча, измеряемая от некоторой фиксированной точки на нем, то dx/ds представляет собой единичный вектор в направлении V0, перпендикулярный волновым фронтам. Таким образом, извлекая квадратный корень из (2.3.10), получаем уравнение
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed