Оптические волны в кристаллах - Ярив А.
Скачать (прямая ссылка):
(2.2.6)
здесь произвольная постоянная интегрирования выбрана равной нулю!).
Подставляя (2.2.4) и (2.2.6) в (2.1.9), решение скалярного волнового уравнения с цилиндрической симметрией можно записать в виде
ф = ехр< - г
-J In 1 + + —,— -г,
qj 2{q0 + z)
(2.2.7)
Напомним, что q0 — произвольная комплексная постоянная. Из выражения (2.2.7) очевидно, что физически реализуемые решения ф, которые обращаются в нуль при г оо, определяются выбором мнимой части постоянной q{). Перепишем q{) через новую постоянную ш0:
<7о =
77 W0 П
X =
2 77/7
(2.2.8)
где п = п0 для однородной среды. Подставляя (2.2.8) в выражение (2.2.7), рассмотрим по отдельности два входящих в него экспоненциальных множителя. Первый из них принимает вид
ехр
-In 1 - I-
Xz
77 Wn П
1
]j 1 + (Xz/77wgrt)2
ехр
і arctg
Xz '
Trwlni
(2.2.9)
где мы использовали соотношение 1п(й + ib) = InVa2 + Ъ2 + + і arctg(o/o). Подставляя (2.2.8) во вторую экспоненту выражения (2.2.7) и разделяя ее на вещественную и мнимую части, получаем
ехр
-ikr
2(q0 + г)
ikr2
ехр
;[l + (XZ/77W2«)2] 2z[l + (77w0rt/Xz)2
(2.2.10)
'' Постоянная интегрирования будет влиять только на фазу решения (2.1.7), что эквивалентно только сдвигу начала отсчета времени. 36
Глава 1
Определяя параметры
w2(z) = Wo
1 +
Xz
77 COn И
= 1+-
2 '
(2.2.11)
R — z
1 +
tIT COq Tl X 2
ТГ
= Z l +
(2.2.12)
можно записать следующие соотношения:
1
1
1 X
I-
q{z) z + і(чти,2п/Х) R(z) Tree2 (z)n и
7}(z) = arctg I -^f- I = arctg ^ 2
(2.2.13)
(2.2.14)
где z0 = 7twq«/\. Тогда подставляя (2.2.9) и (2.2.10) в (2.2.7), а также учитывая то, что Е(х, у, z) = У, z)e"'kz, получаем
Е(х' y'z) = «р( - '"[fe - ч(*)] -
= ?0-тЧ ехр( -/(> - ri(z)] - Г2,
w(z) I j \w2(z) 2R(z) JI'
1 Л
(2.2.15)
где, как обычно, к = 2-кп /X. Это выражение представляет собой наш основной результат. Будем называть это решение фундаментальным гауссовым пучком. Мы не рассматриваем более сложные решения уравнения (2.1.2) (например, решения с азимутальной зависимостью) и ограничиваемся зависимостью лишь от поперечной координаты г = (х2 + у2)1''2. Моды высшего порядка обсудим отдельно.
Из выражения (2.2.15) видно, что параметр w(z), изменяющийся в соответствии с (2.2.11), определяет расстояние г, на котором амплитуда поля убывает в е раз по сравнению со своим значением на оси. Будем называть его радиусом пучка (размером пятна). Параметр ш0 равен минимальному радиусу пучка в плоскости перетяжки Z = 0, a R представляет собой радиус кривизны практически сфери- Распространение лазерных пучков
37
ческих волновых фронтов1' в сечении Z. В справедливости этого утверждения можно убедиться, если вывести выражение для радиуса кривизны поверхностей постоянной фазы (волновых фронтов) или (более простым способом) путем анализа формы сферической волны, испускаемой точечным излучателем, расположенным в плоскости Z = O. Такая волна описывается выражением
E a je~ikR= І ехр(-ifcjx2 + у2+ z2)*
^expj-Mrz- /ArJ^z-))' X2+у2« Z2 (2.2,16)
в котором квадратный корень в области?2 > х2 + у2 мы разложили в степенной ряд и положили г равным радиусу кривизны сферической волны R. Из сравнения выражений (2.2.15) и (2.2.16) видно, что R можно интерпретировать как радиус кривизны гауссова пучка. Знак величины R (z) обычно выбирается отрицательным, если центр кривизны расположен при z' > z, и положительным, если он расположен при z' < z.
Форма фундаментального гауссова пучка (2.2.15) определена однозначно, если заданы его минимальный радиус в перетяжке W0 и координата z относительно плоскости перетяжки. При этом радиус пучка w и его радиус кривизны R в любой плоскости z определяются из выражений (2.2.11) и (2.2.12). На рис. 2.2 иллюстрируются некоторые из этих характеристик пучка. Гиперболы, изображенные на этом рисунке, отвечают траекториям лучей и являются линиями пересечения плоскостей, проходящих через ось Z, с поверхностями гиперболоидов
X2+J2 = Const-W2(Z). (2.2.17)
Эти гиперболы задают локальное направление распространения энергии излучения. Радиусы кривизны изображенных на рисунке сферических поверхностей определяются выражением (2.2.12). На больших расстояниях z гиперболоиды X2 + у2 = W2 асимптотически
'' В действительности из выражения (2.2.15) следует, что всюду, кроме непосредственной окрестности плоскости г = 0, волновые фронты имеют параболическую форму, поскольку они удовлетворяют уравнению к [г + (r2/2R)] = const. Однако при г2 <S г2 различием между параболической и сферической поверхностями можно пренебречь. 38
Глава 1
РИС. 2.2. Распространение гауссова пучка.
стремятся к коническим поверхностям
г = ]/х2 + у2 = ———Z. (2.2.18)
77 W0H
Половина вершинного угла такого конуса используется как мера угловой расходимости пучка:
0пучок = afCtg (Х/тГШоп) «
« Х/жш^і при 0пучок « тт. (2.2.19)
Последний результат является строгим следствием волновой дифракции, согласно которой волна, ограниченная в поперечном направлении апертурой радиусом ш0, будет расходиться (дифрагировать) в дальнем поле (z > 7гш;/; /X) в соответствии с выражением (2.2.19).
